Компетентнісна задача від Сергія Петровича Негоди для розвитку високорівневих математичних здібностей

 

http://0432kompetion.blogspot.com/2017/06/blog-post.html

Комп’ютерна гра(8-9 кл)

 

                                         Саме по собі життя нічого не значить,

                                        ціна його залежить від  його застосування.                                                                                                  Ларошфуко

Уявіть собі, що вам  дали можливість  запрограмувати гральний апарат,  у якому  виграші випадають на унікальні  властивості  та закономірності періоду декількох останніх цифр у степеневих числах виду а^m .  А правила  ігри такі. Гравець угадує  наперед три останні цифри, які ось-ось випадуть на екрані, гравець  сам задає  для грального автомата закон утворення  цифр, тобто цифри утворюються із чисел вигляду а^m , де а – цифра, яку обирає гравець, а показник степені вибирає випадковим чином автомат. Якщо гравець угадав усі три останні цифри, то він отримує десяту  долю від закинутих в автомат грошей.   Тому розумному  гравцю спочатку треба провести досліди, аби знати які цифри варто пропонувати.  Таким чином  розглянемо рівняння з трьома змінними на знаходження остач від ділення  виразів 2^m  на 10, 100, 1000, 10000 і так далі. Для цього складаємо рівняння

2^m ºg(mod10ⁿ),

де n, m, g -  невідомі натуральні числа.

 

Розглянемо конкретний випадок при  n=3, тобто  2^m º g(mod 1000),

Отже, шукаємо найменший 3-цифровий період для змінної  g:

Т₃(2^m)=4*5²=100;

тому  для будь-якого натурального числа m маємо лише сто  трицифрових значень для змінної  g  у рівнянні

2^mºg(mod1000),

а саме  g={128; 256; 512; 024; 048; 096; 192;384; 768; 536; 072; 144; 288;  576;152; 304;  608; 216;432;864;728;456;912; 824; 648; 296; 592; 184; 368; 736; 472; 944; 888; 776; 552; 104; 208; 416;832; 664; 328; 656; 312; 624; 248; 496; 992; 984; 968; 936; 872; 744; 488; 976; 952; 904; 808; 616; 232;464; 928; 856; 712; 424; 848; 696; 392; 784; 568; 136; 272; 544; 088; 176; 352; 704; 408; 816; 632; 264;    528; 056; 112; 224; 448; 896; 792; 584; 168; 336; 672; 344; 688; 376; 752; 504, 008; 016; 032; 064}. Отже існує сто варіантів( із 900 можливих) виграшних станів, якщо граємо трицифровими числами. Тобто 800 станів(трицифрових чисел) у цьому гральному автоматі  є програшними. А ймовірність виграшу дорівнює 0,1111….  .

 

Розглянемо конкретний випадок при  n=2, тобто  2^m º g(mod 100),

Знаходимо найменший двоцифровий  період  Т₂(2^m)=4*5¹=20,  тому  маємо двадцять двоцифрових значень  змінної   g  у  рівняння

2^m ºg(mod100),

а саме  g ={02, 04, 08, 16, 32, 64, 28, 56, 12, 24, 48, 96,92, 84, 68, 36,72, 44, 88,76,52}.

Отже, існує двадцять варіантів (із 90 можливих варіантів) виграшних станів, якщо граємо двоцифровими числами . Тобто 70 станів у цьому гральному автоматі  є програшними. А ймовірність виграшу дорівнює 0,1111….

 

Розглянемо конкретний випадок при  n=1, тобто 2^m ºg(mod 10).

Знаходимо найменший одноцифровий період Т₁(2^m)= 4*5⁰=4,  тому чотири одноцифрових розв’язків рівняння  2^m ºg(mod10), а саме  g ={2, 4, 8, 6}.

Отже, існує чотири варіанти (із 10 можливих цифр) виграшних станів, якщо граємо одноцифровими числами . Тобто 6  станів у цьому гральному автоматі  є програшними. А ймовірність виграшу дорівнює 0,4 . 

Згідно індукції  доводимо, що найменший n-цифровий період Т_n(2^m)=4*5^n-1, обчислюється формулою геометричної прогресії із знаменником 5. Число 4*5^n-1– це кількість  n-цифрових  чисел, які задовольняють  змінну g   у  рівнянні  2^m ºg(mod 10ⁿ).

  

Завдання

1)    Перевірте, що  існує 2³ підмножин у множини  з трьома елементами?

2)    Перевірте, що  існує 2⁴  підмножин  у множини  з чотирма  елементами?

3)    Перевірте, що  існує 2⁵  підмножин  у множини  з п’ятьма елементами?

4)    Скільки існує розв’язків рівняння  4*5^n-1 = 4?

5)    Скільки існує розв’язків рівняння  4*5^n-1 = 20?

6)     Для яких натуральних значень m   правильна рівність  2^m º2(mod 10)?

7)     Для яких натуральних значень m   правильна рівність  2^m º64(mod 100)?

8)      Для яких натуральних значень m   правильна рівність  2^m º512(mod 1000)?

9)      Використовуючи табличний процесор MS Exсel знайти множину значень

      для   g, що задовольняють рівняння:

                                                      3^m ºg(mod 100).

10)Використовуючи табличний процесор MS Exсel знайти множину значень

      для   g, що задовольняють рівняння:

                                                      4^m ºg(mod 100).

11)      Знайти кількість  4-цифрових  чисел, які задовольняють  змінну g в рівнянні                                                                   

                                                   6^m ºg(mod 10000).

12)       Знайти кількість  5-цифрових  чисел, які задовольняють  змінну g в рівнянні                                                                   

                                                   7^m ºg(mod 10000).

 

1.6 Лінійна залежність(8-9 кл)

 

Уявіть собі, що вам  треба  створити алгоритм, який породжує числові послідовності з властивостями арифметичної  прогресії  або з наперед заданими властивостями подільності чисел. Для створення такого алгоритму слід розглянути  властивості рівняння прямої в прямокутній системі координат

з кутовим коефіцієнтом  у = kx + b, де кутовий коефіцієнт k= tgj, кут j - це кут між прямою і додатним  напрямом осі Ох,  при цьому k, x,  b– довільні числа. Значення х – називають аргументом, значення у – називають функцією.

 

В математиці, зокрема в теорії функцій рівняння у = kx + b задає так звану  лінійну функцію, графіком  якої в прямокутній системі координат є пряма лінія.

 В арифметиці чисел  рівняння у = kx + b задають послідовність чисел, яку називають арифметична прогресія, зрозуміло, що  k, b – довільні числа,  х – натуральні числа(номер члена прогресії). 

У фізиці рівняннями у = kx + b задають  або описують рівномірні процеси, наприклад, рівномірний рух  транспорту по прямій.

А в теорії цілих чисел рівняннями  у = kx + b задають послідовність чисел, які при ділення на ціле k мають остачу  b, (зрозуміло, що k – дільник числа у, b – остача,  х – неповна частка).

Ми будемо розглядати арифметичну прогресію:  у(n) =а_n = kn+b.

1.  Числова послідовність, кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, складеному з одним і тим же числом, називається арифметичною прогресією.

Приклад:  1) 3,7;.....;   2) -5, -1,.......

2.  Різниця між будь-якими двома сусідніми членами арифметичної прогресії дорівнює одному і тому ж числу.

Приклад:  3, 7, 11, 15, 19, ............
                    7-3=4; 11-7=4; 15-11=4; 19-15=4; .......

Це число називається різницею арифметичної прогресії та позначається буквою d.

Приклад:  4,8,12,16,20,......; різниця: d=4

Розглянемо властивості рівняння   у(n) =а_n = kn+b.

1) якщо k = 0, b = 0, то  а_n = 0  - це рівняння  арифметичної прогресії із нульових чиселабо рівняння натуральних на осі абсцис Ох;

2) якщо k = 0, b ≠ 0, то  а_n = b  - це сталої арифметичної прогресії, з різницею 0, або  рівняння цілих точок на прямих,  що паралельні до осі  абсцис Ох і проходять через точку (0;  b);

3) якщо k = 1, b = 0, то а_n = n - це рівняння цілих точок   прямої, що є бісектрисою першої  та третьої координатних  чвертей);

4) якщо k = -1, b = 0, то  а_n = - n  - це рівняння  цілих точок прямої, що є бісектрисою другої  та четвертої координатних чвертей);

5) якщо k = 2, b = 0,  х = n – цілі числа, то  а_n = 2n - це рівняння  парних чисел;

6) якщо k = 2, b = -1,  х = n – цілі числа, то  а_n = 2n-1 - це рівняння  непарних чисел;

7) якщо k = 6, b = -1,  х = n – цілі числа, то а_n = 6n-1  - це рівняння  цілих чисел, які при діленні на 6 дають остачу 5;

8) якщо k = 6, b = +1,  х = n – цілі числа, то а_n = 6n+1 - це рівняння  цілих(непарних) чисел, які при діленні на 6 дають остачу 1;

9) якщо k = 15, b = +1,  х = n – цілі числа, то а_n = 15n+1  - це рівняння  цілих(парних і непарних) чисел, які при діленні на 3 і на 5 дають остачу 1.

 

Завдання.

 

1)    Запропонуйте найзручніший спосіб підрахунку  для знаходження  суми всіх грошей, що лежать у 100 конвертах, якщо у першому конверті лежить 1 грн, у другому конверті лежить 2 грн, у третьому конверті лежить 3 грн, і так далі до сотого конверта, в якому лежить 100 грн.

2)    Запропонуйте найзручніший спосіб підрахунку  для знаходження  суми всіх грошей, що лежать у 100 конвертах, якщо у першому конверті лежить 2 грн, у другому конверті лежить 4 грн, у третьому конверті лежить 6 грн, і так далі до сотого конверта, в якому лежить 200 грн.

3)    Запропонуйте найзручніший спосіб підрахунку  для знаходження  суми всіх грошей, що лежать у 100 конвертах, якщо у першому конверті лежить 1 грн, у другому конверті лежить 3 грн, у третьому конверті лежить 5 грн, і так далі до сотого конверта, в якому лежить 199 грн.

4)    Запропонуйте найзручніший спосіб знаходження    кількості грошей у першому конверті і кількості грошей у п’ятому конверті, якщо в шести конвертах лежать гроші так, що утворюють зростаючу арифметичну прогресію, з різницею 7  та сумою грошей в шести  конвертах дорівнює 159.

5)    Запропонуйте найзручніший спосіб знаходження  кількості грошей у другому конверті, якщо у третьому кількість грошей становить 50% від кількості грошей у шостому конверті, а   добуток кількості грошей у третьому та шостому конверті дорівнює 288, якщо в шести конвертах лежать гроші так, що утворюють зростаючу арифметичну прогресію.

6)    Запропонуйте найзручніший спосіб знаходження  чотирьох чисел, які знаходяться між числами 1 та 8  і всі ці шість чисел утворюють арифметичну прогресію.

7)    Запропонуйте найзручніший спосіб знаходження  двох невідомих чисел, для яких середнє арифметичне дорівнює 10, а середнє геометричне дорівнює 6. 

8)    Запропонуйте найзручніший спосіб знаходження  х: 2+5+8+ ... + х =155.

9)    Запропонуйте найзручніший спосіб знаходження  суми всіх натуральних двозначних чисел, які не діляться на 7 без залишку.

10)    Восьмий член арифметичної прогресії становить 40% від четвертого члена, а їх сума дорівнює 2,8. Скільки потрібно взяти членів цієї прогресії, щоб їх сума дорівнювала 14,3?

11)  Запропонуйте найзручніший спосіб знаходження  суми всіх тризначних чисел, які кратні 3.

12)     Запропонуйте найзручніший спосіб знаходження семи чисел, які знаходяться  між числами 3 і 23   та усі дев’ять чисел утворюють арифметичну прогресію.

 Додаток до задач

Таблиця Вінницького довжини двоцифрових періодів степенів цифр.

(Степеневі лишки при діленні на 100)

  mⁿ º ab(mod 100).

Основа	2	3	4	5	6	7	8	9
Довжина  двоцифрового періоду  ….аb	20(поч. з 04)	20	10	1	6	4	20	10
Довжина  одноцифрового періоду  ….аb	4	4	2	1	1	4	4	2
Критерій парності двох цифр лишку	k& 2n	2k & 2n+1	k& 2n	2k & 2n+1	2k+1&2n	2k & 2n+1	k & 2n	2k & 2n+1
m1	02	03	04	05	06	07	08	09
m2	04	09	16	25	36	49	64	81
m3	08	27	64	25	16	43	12	29
m4	16	81	56	25	96	01	96	61
m5	32	43	24	25	76	07	68	49
m6	64	29	96	25	56	49	44	41
m7	28	87	84	25	36	43	52	69
m8	56	61	36	25	16	01	16	21
m9	12	83	44	25	96	07	28	89
m10	24	49	76	25	76	49	24	01
m11	48	47	04	25	56	43	92	09
m12	96	41	16	25	36	01	36	81
m13	92	23	64	25	16	07	88	29
m14	84	69	56	25	96	49	04	61
m15	68	07	24	25	76	43	32	49
m16	36	21	96	25	56	01	56	41
m17	72	63	84	25	36	07	48	69
m18	44	89	36	25	16	49	84	21
m19	88	67	44	25	96	43	72	89
m20	76	01	76	25	76	01	76	01
m21	52	03	04	25	56	07	08	09

Отже, можливі тільки такі степеневі двоцифрові лишки  для степенів цифр: 00, 01,  02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 12,16, 21,23, 24, 25, 27, 28, 29, 32, 36, 41, 43, 44, 47, 48, 49, 52,56, 61, 63, 64, 67, 68, 69, 72,76, 81,83,  84, 88, 89, 92, 96.

Квадратні лишки.  Остачі при діленні квадратів на натуральні числа.

Якщо квадрат натурального числа, тобто,  m² = m∙m, поділити на:  2, то отримаємо остачі 0, 1;  на 3, то отримаємо остачі 0, 1;  на 4, то отримаємо остачі 0, 1;  на 5, то отримаємо остачі 0, 1, 4; на 6, то отримаємо остачі 0, 1, 3, 4; на 7, то отримаємо остачі  0, 1, 2, 4; на 8, то отримаємо остачі  0, 1, 4; на  9, то отримаємо остачі 0, 1, 4, 7; на 10, то отримаємо остачі 0, 1, 4, 5, 6, 9; на 11, то отримаємо остачі 0, 1, 3, 4, 5, 9;  на 12, то отримаємо остачі 0, 1, 4, 9;   на 13, то отримаємо остачі 0, 1, 3, 4, 9, 10, 12;  на 14, то отримаємо остачі 0, 1, 2, 4, 8, 9;  на 15, то отримаємо остачі 0, 1,4, 6,  9, 10;  на 16, то отримаємо остачі 0, 1, 4, 9;  на 17, то  отримаємо остачі 0, 1, 4, 8, 9,15.

Кубічні лишки. Остачі при діленні кубів на натуральні числа.

Якщо куб натурального числа, тобто,  m³ = m∙m∙m, поділити на:  2, то отримаємо остачі 0, 1; на 3, то отримаємо остачі 0, 1, 2; на 4, то отримаємо остачі 0, 1, 3; на 5, то отримаємо остачі 0, 1, 2, 3, 4;

6, то отримаємо остачі 0, 1, 2, 3, 4, 5; на 7, то отримаємо остачі  0, 1, 6; на 8, то отримаємо остачі  0, 1, 3, 5, 7; на 9, то отримаємо остачі  0, 1, 8; на 10, то отримаємо остачі 0, 1, 2, 3, 4, 5; 6; 7; 8; 9.

Четвіркові лишки. Остачі при діленні четвертих степенів на натуральні числа.

Якщо четверту степінь натурального числа, тобто,  m⁴ = m∙m∙m∙m, поділити на:  2, то отримаємо остачі 0, 1;

на  3, то отримаємо остачі 0, 1; на 4, то отримаємо остачі 0, 1; на 5, то отримаємо остачі 0, 1; на  6, то отримаємо остачі 0, 1, 3, 4; на 7, то отримаємо остачі  0, 1, 2, 4; на 8, то отримаємо остачі  0, 1; на 9, то отримаємо остачі 0, 1, 4, 7; на 10, то отримаємо остачі 0, 1, 5, 6.

П’ятіркові лишки. Остачі при діленні п’ятих степенів на натуральні числа.

Якщо п’яту степінь натурального числа, тобто,  m⁵ = m∙m∙m∙m∙m, поділити на:  2, то отримаємо остачі 0, 1;

на 3, то отримаємо остачі 0, 1, 2; на 4, то отримаємо остачі 0, 1, 3; на 5, то отримаємо остачі 0, 1, 2, 3, 4;

на 6, то отримаємо остачі 0, 1, 2, 3, 4, 5; на 7, то отримаємо остачі  0, 1, 2, 3, 4, 5, 6; на 8, то отримаємо остачі  0, 1, 3, 5, 7; на 9, то отримаємо остачі  0, 1, 2, 4, 5, 7, 8; на 10, то отримаємо остачі 0, 1, 2, 3, 4, 5; 6; 7; 8; 9.

 

РОЗВИТОК предметних КОМПЕТЕНЦІЙ

З   ТЕМИ «КВАДРАТИЧНА ФУНКЦІЯ»

9 клас

Компетентнісні завдання 

1. А) Якщо квадратична  функція  f(x) =ах² + bx + с, де а – ненульове число,  b  та с  - дійсні  числа, приймає два значення  f(0) = с  та f(1) =а + b + с такі, що  f(0)∙f(1)  = ас + bс + с²  ≤ 0, то квадратична функція має хоча б один нуль. Доведіть це. Чи вірно, що цей нуль завжди можна записати правильним звичайним дробом?
 Б) Розв’язати рівняння:  а) - г) і виконати перевірку.  У рівнянні з параметром, що в пункті д) знайти, при якому значенні параметра  k  рівняння має: а) один корінь; б) один додатний корінь; в) один від’ємний корінь; г) два корені; д) два протилежні корені; е) немає коренів;  є) два корені: нульовий  і додатний; ж) два корені: нульовий  і від’ємний; з) два не додатних  корені; и) два  корені різних знаків;  ї)два взаємно обернені корені.

а) z² = (– 1³) ⁶;   

б) 6х³ = 54x;    

в) (х-1)(х+9) = 8х;  

г) (6х – 9)² + (9х + 6)² = 84;

 д) -9kх² – (4-3k)х -0,25k = 0.  

2.  Знайти вісь симетрії та коефіцієнти а, b, с  квадратичної функції          f(x) =ах² + bx + с, якщо відомо, що графік проходить через такі  три  точки: 

а) (-4; 0), (3;0), (0; -12); 

б) ( 1; 1), (2;2),  (0; 2); 

 в) (2; 3), (3;4),  (4; 3). 

3.  Побудуйте графіки  функцій:  

a) f(x) = max{ 2/x/ - 4;  х² -5x + 4};  

б) f(x) = min{- х² + 3x + 2;  -/x/ + 2};  

в) f(x) = - 2(max{ /x/ - 7;  -7- x })²;  

 

 

4.  Побудуйте графіки  функцій:  

a) f(x) = max{ -х² + 8/x/ - 7;  х² -5/x/ + 4};   

 б) f(x) = min{ -х² + 3/x/ - 2;  х² - 4/x/ + 3}; 

 в) f(x) = - 2(min {/x/;  х² })²;

5.  Розв’яжіть нерівність:  

max{ 2/x/ - 4;  х² -5x + 4} ≤ min{ -х² + 3/x/ - 2;  х² - 4/x/ + 3}.  

6.  Якщо квадратне рівняння ах² + bx + с = 0, де а – ненульове ціле число,  b  та с  - цілі числа, має два раціональні корені, то  принаймні одне з чисел  а, b,с  - парне число. Доведіть це.

7.  Чи може статися так, що квадратне рівняння вигляду:  

х² + (2n-1)x + 2k-1 = 0, 

 де n , k  – цілі числа,  матиме:

 а) два парні корені:

б) два непарні корені,

в) два корені різної парності?

 Відповідь обґрунтувати.

8.  Чи може статися так, що квадратне рівняння вигляду:

 х² + 2nx + 2k = 0, де n , k  – цілі числа,  мати:

а) два парні корені;

б) два непарні корені;

 в) два корені різної парності?

 Відповідь обґрунтувати.

9.  Чи може статися так, що квадратне рівняння вигляду:

 х² + (2n)x + 2k-1 = 0, де n , k  – цілі числа,  мати:

а) два парні корені:

б) два непарні корені;

в) два корені різної парності?

Відповідь обґрунтувати.

 

 

 

10.   Чи може статися так, що квадратне рівняння вигляду:  х² + (2n-1)x + 2k = 0,  де n , k  – цілі числа,  мати: а) два парні корені: б) два непарні корені, в) два корені різної парності? Відповідь обґрунтувати.

11.  Доведіть, що коли многочлен ах² + bx + с, де а – ненульове ціле число,  b  та с  - цілі числа, при х=0 та х=1 має непарні значення, то він не має цілих коренів.

12.  У кажіть усі значення параметр а для квадратного рівняння  (а-1)х² - (а+4)x + а+7 = 0, 

при яких існує тільки один корінь: а) нульовий; б) додатний ; в) від’ємний; г) цілий.

13.   У кажіть усі значення параметр а  для квадратного рівняння  

ах² -2(а-1) x + 2а+1=0, при яких  знаки коренів:  а) різні;  б) додатні; в) від’ємні.

14.   Складіть квадратне рівняння з раціональними коефіцієнтами, якщо  один з його коренів є х = 2^0,5 -1.

15.   Складіть квадратне рівняння з раціональними коефіцієнтами, якщо  один з його коренів є:    

а) х = (5^0,5 -3^0,5)/ (5^0,5 +3^0,5) ;       

б)  х = (2^0,5 -7^0,5)/ (2^0,5 +7^0,5) ;  

в)  х = (a^0,5 -b^0,5)/ (a^0,5 +b^0,5).

16. Чи існують  квадратні рівняння з раціональними коефіцієнтами,   знаменники яких виражені числом  2014,  якщо  відомо, що корені рівняння  обмежені числами:  

а)  1< х₁ 3< х₂  ;             

б) -5< х₁ 5< х₂  ;   

в)  -6 < х₁ = х₂ 

 

 

Компетентнісні завдання для розвитку високорівневих компетенцій з математики

 

 

1.90 Нерівності для експоненти

 

Якось Михайлику випало під час математичного бою порівнювати числа, які після коми мають безліч знаків, а саме  йому не вдалося одразу поставити правильний знак нерівності у завданні: Як число більше p^e та e^p?

 

Завдання

1)    Довести, що х+1 ≤ e^x, якщо x- дійснечисло;  e»2,718281828459…..

2)    Довести, що х²+1 ≤ e^x, якщо x- дійснечисло, x>-1; e»2,718281828459…..

3)    Довести, що x^e < e^x, якщо x- дійснечисло.

4)    Довести, що x³+1 <e^x, якщо x- дійснечисло, x<2; e»2,718281828459…..

5)    Довести, що e^x < x⁴, якщо x- дійснечисло, |x|>2; e»2,718281828459…..

6)    Довести, що ln(x)-x<0, якщо x- дійснечисло, x>0.

7)    Довести, що p^e <e^p,   0,6815<e^p  -  p^e<0,6816; якщо  e»2,718281828459….. ; p»3,1415926535…

 

1.91 Кількість  n-цифрових розв’язків  

 

Павло вичитав в Інтернеті про  знамените рівняння Ферма в цілих числах. Тому вирішив розпочати  досліджувати простіше діофантове  рівняння     k^p  =n^m, де k, p, n, m- цифри десяткової системи, окрім нуля та одиниці та тривіального розв’язку з усіма однаковими цифрами (n, n, n, n). Павло вирішив розв’язок записати як четвірку: (k, p, n, m). 

Наприклад: Тривіальні рівності на  множині цифр десяткової системи:

  р^p  = р^р ,  1^p  = 1^р , 1^т  = 1^р , 0^т  = 0^р , (n^m)^k  =(n^k)^m  ,   n¹  =n¹

729=3⁶=9³,  (3, 6, 9, 3).       64=2⁶=4³,  (2, 6, 4, 3).     16 =2⁴=4²,  (2, 4, 4, 2). 

256=2⁸ =4⁴,  (2, 4, 4, 4).    6561=3⁸=9⁴,  (3, 8,  9, 4).     81=3⁴=9²,  (3, 4, 9, 2).       

 

Завдання  на дослідження

1)    Чи вірно, що 2*5^n-1– це кількість  n-цифрових значень змінної  g  в  рівнянні

9^mº g (mod 10ⁿ)?

2)    Чи вірно, що 4*5^n-1– це кількість  n-цифрових значень змінної  g  в  рівнянні

8^mº g (mod 10ⁿ)7

3)    Чи вірно, що 4*5^n-2– це кількість  n-цифрових значень змінної  g  в  рівнянні

7^mº g (mod 10ⁿ)?

4)    Чи вірно, що 5^n-1– це кількість  n-цифрових значень змінної  g  в  рівнянні

6^mº g (mod 10ⁿ). 

5)    Чи вірно, що 2^n-2– це кількість  n-цифрових значень змінної  g  в  рівнянні

5^mº g (mod 10ⁿ)?

6)    Чи вірно, що 2*5^n-1– це кількість  n-цифрових значень змінної  g  в  рівнянні

4^mº g (mod 10ⁿ)?

7)    Чи вірно, що 4*5^n-1– це кількість  n-цифрових значень змінної  g  в  рівнянні

3^mº g (mod 10ⁿ)?

8)    Чи вірно, що 4*5^n-1– це кількість  n-цифрових значень змінної  g  в  рівнянні

2^mº g (mod 10ⁿ)?

 

1.92 Нерівності для рядів чисел

 

Віталій  досліджує раціональні вирази та дії над ними. Знаменники в його раціональних виразах,  як правило,  приймають натуральні значення. Для великих сум він старається знайти оцінки зліва та оцінки справа. Допоможіть йому не тільки словом, але і своєю кмітливістю.

 

Завдання.

1)    Чи вірно, що 5/6<1/n+1 +1/n+2+ 1/n+3+…+1/3n<4/3?

2)    Чи вірно, що 1/2×3/4×5/6×7/8×…×2n-1/2n ≤ 1/(2n+3)0,5, якщо n- натуральне число.

3)    Чи вірно, що 2((n+1)0,5-1)<1+1/20,5 + 1/30,5 +1/40,5 + 1/50,5+…+1/n0,5 <2(n)0,5 , якщо n- натуральне число.

4)    Чи вірно, що 1/32 +1/42 + 1/52+…+1/n2<1-1/n, якщо n- натуральне число.

5)    Чи вірно, що 2ⁿ<xⁿ+x^n-2+x^n-4+…+¹/_x^n-4 +¹/_x^n-2 + ¹/_xⁿ, якщо х>0, n- натуральне число.

6)    Чи вірно, що (2+(2+(2+…+(2)^0,5)^0,5…)^0, )^0,5 ≤ 2cos(p/2ⁿ⁺¹), якщо n- натуральне число?

7)    Чи вірно, що (2+(2+(2+…+(2)^0,5)^0,5…)^0, )^0,5 < 2, якщо n- натуральне число?

 

 

1.93  Відношення у трикутнику

 

Данило здивувався, коли натрапив на красиву задачу, а саме. Нехай існує трикутник АВС, у якого з вершини А та з вершини В проведено два відрізки CC₁ та ВВ₁. Ці відрізки перетинаються у точці О і точкою поділу діляться на частини

АО:ОА₁ = x:y

та

ВО:ОВ₁= p:q.

У якому відношенні ділиться точкою О відрізок СС₁, та у якому відношенні ділиться кожна сторона  трикутника АВС точками А₁, В₁, С₁?

Завдання

1)    Чи вірно, що OC:OC₁= [уp + 2yq + qx]:[xp - yq]?

2)    Чи вірно, що AC₁:C₁B= [q(x+ y)]:[(p+q)y]?

3)    Чи вірно, що AB₁ : B₁C = [px - yq]:[py + qy]?

4)    Чи вірно, що BA₁ : A₁C = [xp - yq]:[qx + qy]?

 

1.94 Властивості кола

Коло на площині, даного радіуса r, у певній вибраній Декартовій системі координат x і y, з центром в точці (a, b) описується стандартним рівнянням кола:  (х - а)² + (у - b)² = R²,  де С(а; b) – центр кола, R – радіус кола.

У полярній системі координат рівняння кола має вигляд  r = R.

 

Це рівняння випливає з теореми Піфагора, при її застовуванні до кожної точки кола, як показано на рисунку справа, де радіус це гіпотенуза прямокутного трикутника, катети якого x − a та y − b. Якщо центр кола знаходиться в початку координат (0, 0), тоді рівняння спрощується до такого вигляду:

  х² + у² = R²,

Загальне рівняння кола:

ах² + аy² + dx + ey + f = 0,

де  а≠0, d,  e, f  - відомі дійсні числа,  х, у – змінні. Виділенням повних квадратів відносно змінної х та відносно змінної у, це рівняння можна звести до  вигляду:  (х - а)² + (у - b)² = R².

Наприклад для рівняння:  х² + y² + dx + ey + f = 0,

x²+dx+ 0,25d²+y²+ey+ 0,25e²=−f+0,25d²+0,25e²

(x+ 0,5d)²+(y+ 0,5e)²=−f+ 0,25d²+ 0,25e²

Параметричне означення кола.

Коло на площині, даного радіуса r, у певній вибраній Декартові системі координат x і y, описується системою рівнянь:

 x = a + r*cost

 y = b + r*sint

де параметр  t ‒ пробігає значення від 0 до  2π.

З геометричної точки зору це кут до осі x, променя проведеного з початку координат до точки (x, y). Якщо записати x та y через параметр t, отримаємо:

 x = a + r(1 ‒ t²)(1 + t²)^-1

 y = b + 2rt(1 + t²)^-1.

Полярні координати рівняння кола.

Рівняння кола в полярних координатах:

   r² ‒ 2rr₀ cos(θ – φ) + r₀² = a²

де a – радіускола, r₀ ‒відстаньвідпочаткукоординатдоцентруколатаφ – кутвідкладенийпротигодинниковоїстрілкивіддодатньоїосі xдолініїщоз’єднуєпочатоккоординатзцентромкола.

Для кола, центр якого знаходиться в початку координат r₀ = 0, це рівняння спрощується до вигляду r = a. Якщо r₀ = a або якщо початок координат лежить на колі, тоді отримуємо рівняння:

  r = 2acos(θ – φ).

В загальному випадку, рівняння можна розв’язати для r:

r = 2r₀cos(θ – φ)+( a² ‒ r₀²sin²(θ – φ))^0,5.

Розвязок із знаком мінус перед коренем дає ідентичну криву.

 

Завдання

Обгрунтуйте або спростуйте наступні твердження.

1)    До двох кіл, що не перетинаються, можна провести чотири спільні дотичні.

2)    До двох кіл, що дотикаються, можна провести три спільні дотичні.

3)    До двох кіл, що перетинаються, можна провести дві спільні дотичні.

4)    Через три точки, що не лежать на одній прямій, можна провести коло, і при тому тільки одне.

5)    Точка дотику двох кіл лежить на прямій, що проходить через їхні центри.

6)    Відстань між колами, що не мають спільних точок – це відрізок, що лежить на прямій між двома колами, що проходить через їхні центри.

7)    Ізопериметрична нерівність: З усіх замкнутих кривих даної довжини коло обмежує область максимальної площі.

8)    Вписаний кут або дорівнює половині центрального кута, що спирається на його дугу, або доповнює половину цього кута до 180°.

9)    Два вписаних кути, що спираються на одну й ту ж дугу, рівні.

10)        Вписаний кут, що спирається на дугу довжиною в половину кола дорівнює 90°.

11)        Кут між двома січними, проведеними з точки, що лежить поза колом дорівнює піврізниці мір дуг, що лежать між січними.

12)        Кут між хордами, що перетинаються дорівнює півсумі мір дуги, що лежить у куті і дуги навпроти неї.

13)        Кут між дотичною та хордою дорівнює половині градусної міри дуги, що стягується хордою.

14)        Відрізки дотичних до кола, проведених з однієї точки, рівні й утворюють рівні кути з прямою, що проходить через цю точку і центр кола.

15)        При перетині двох хорд добуток відрізків, на які ділиться одна з них точкою перетину, дорівнює добутку відрізків на які ділиться інша.

16)        Добуток довжин відстаней від обраної точки до двох точок перетину кола та січної, що проходить через обрану точку, не залежить від вибору січної і дорівнює абсолютній величині ступені точки відносно кола.

17)        Квадрат довжини відрізка дотичної дорівнює добутку довжин відрізків січної і дорівнює абсолютній величині міри точки відносно кола.

 

1.95  Оцінювання виразів

 

Марія досліджує значення для обмежених цілих виразів на заданих умовах. Нехай х, y– додатні дійсні числа,  для яких х+у =1.

Доведіть, що (1+1/х) (1+1/y) ≥9.

 

Завдання

Перевірте, чи правильно виконане доведення. Виправте недоліки та помилки.

 

Доведення. Оцінимо  вирази:  ху,  х² + у², х²у², х² +ху+ у²  на найбільше  та найменше значення,  а саме

0≤ х²у² ≤ 0,0625=1/16, якщо  х>0, y>0,  y=1- x. 

0≤ х²у² ≤ ху≤0,25=1/4, якщо  х>0, y>0,  y=1- x. 

0,5≤ х² + у²≤ 1, якщо  х>0, y>0,  y=1- x. 

0,75≤ х² + ху + у²≤ 1, якщо  х>0, y>0,  y=1- x.    

 

Якщо  х>0, y>0,  y=1- x,  тоді

Добуток двох змінних  xу =х(1-х)=х-х²

Квадратична функція  f(x)= х-х² має вершину параболи  (з вітками вниз) в точці (0,5; 0,25), тому  ху=х(1-х)=х-х²≤0,25.

Отже, якщо  х>0, y>0,  х+у =1, то  0<ху≤0,25, при цьому

x=0,5,  y=0,5.

Аналогічно доводяться оцінки для інших виразів.

Остаточно, отримаємо

(1+1/х) (1+1/y)=(1+(х+у)+ху)/ху=2/ху+1 ≥2:0,25+1=9.

 

1.96   Степені і нерівності

 

Тарасу одразу вдалося осмислити, чому саме такий  знак нерівності

у випадках:  3³⁴>2⁵¹   та   3⁵⁷<2⁹⁵! Кмітливість у перетворенні степенів проявив і його однокласник. Спробуйте і ви проявити кмітливість

 

Завдання.

1)    Доведіть, що  х + у ≤ 2, якщо х³ + у³ = 2.

2)    Доведіть, що   x^у - y^z+ z^x   ≤   x^x– y^y+ z^z, якщо х ≥ 1,  у≥ 1, z≥ 1.

3)    Доведіть, що   (^х/_у) ⁴+(^у/_х) ⁴ + ^х/_у+^y/_x ≥2+(^х/_у)²+(^у/_у) ².

4)    Доведіть, що  (1+1/х)^х >x+1/(x^x), якщо  1<x<2.

5)    Доведіть, що  (1+1/х)^х <x+1/(x^x), якщо  0<x<1,х >2.

 

1.97  Точні квадрати

 

Яким чином можна отримати точні квадрати із многочленів знає Віктор.

Він запропонував своєму однокласнику розв’язати наступні завдання.

 

Завдання.

1. Чи вірно, що  рівняння

А) (n - 7)(n + 1)(n + 7)(n - 1) + 455 = 0;

Б) (k - 2)(k + 1)k(k - 1) - 24  = 0;

В) (m - 7)(m + 1)(m + 7)(m - 1) + 432 = 0;

Г) (a - 3)(a + 1)(a + 3)(a - 1) - 105 = 0

мають єдиний розв’язок в натуральних числах?

2. Які цілі вирази 

А) (n - 7)(n + 1)(n + 7)(n - 1) + 576;

Б) (m- 2)(m + 1)m(m - 1) + 1;

В) (k - 3)(k + 1)(k + 3)(k - 1) + 16;

Г) (p - 4)(p + 2)(p + 4)(p - 2) + 36;

Д) (t - 5)(t + 3)(t + 5)(t - 3) + 64;

Е) (x - 1)(x + 3)(x + 2)(x - 2)(x + 1)(x - 3) + 36;

Є) (y - 5)(y + 1)(y + 5)(y - 1) + 144

являються точними квадратами цілих виразів з цілими коефіцієнтами?

3. Невід’ємні цілі числа x, y, z задовольняють рівність

30х + 32у + 33z = 447. Знайдіть  значення виразу х + у + z.

 

1.98  Спосіб занулення частини рівняння

 

Данило придумав новий спосіб занулення однієї частини  рівняння у випадках, коли можна розділити змінні по різних частинах рівняння. Аби таке перетворення не стало маніпуляцією з рівнянням, варто перевірити логічність такого перетворення.

 

Завдання.

Перевірте правильність розв’язання діофантового  рівняння з двома змінними:

1.Розв’язати рівняння х + ух + у² = х³ .

Розв’язання.

У правій частині  рівняння зробимо одну змінну:

 х + ух + у² = х³

 ух + у² = х³ - х

Якщо розглянемо ліву і праву частину, які дві функції на їх проміжках існування та неперервності, то отримаємо:

а(х, у)=р(х) 

Останню рівність  треба розуміти, як рівні між собою функції на проміжках існування та неперервності.

а(х, у)=  р(х)= ух + у²

а(х, у)=  р(х) = х³ - х

Перетворимо однозмінну функцію у двозмінну функцію, зануливши відсутню у виразі змінну:

р(х) =  х³ - х = х³ – х+ 0 = р(х, 0) = р(х, 0у)=  х³ – х+0у

Правило таке: якщо змінна відсутня, то її замінюємо нулем(адже добуток нуля на цю змінну дорівнює нулю).

Таким чином

а(х, у)=р(х)= р(х, 0)=  р(х, 0у)= а(х, 0)= ух + у²=0

Аналогічно,

 а(х, у)=  р(х) = р(х, 0у)= а(х, 0)=  х³ – х=0.

Отже маємо систему двох рівнянь: ух + у²=0;  х³ – х=0.

Друге рівняння з однією змінною:

х³ – х=0;   х(х²-1)=0,  х(х-1)( х+1)=0,    

 х=0,  х=1,  х= -1.

Отримаємо три рівняння з невідомим у:

Якщо х=0, то  у0 + у²=0;   у=0;  отже  (0;0).

Якщо х=1, то  1у + у²=0;  у=0; у=-1; отже (1;0) (1;-1).

Якщо х=-1, то  -1у + у²=0;  у=0; у=1;  отже (-1;0) (-1;1).

Відповідь:  (1;0),  (1;-1),   (-1;0),  (-1;1), (0;0).   

 

 

 

 

 

1.99  Від рівняння до функцій

 

Максим придумав дивний  спосіб узагальнення  рівнянь у випадках, коли можна змінні по різних частинах рівняння заміняти довільними функціями. Аби таке перетворення не стало маніпуляцією з рівнянням, варто перевірити логічність такого перетворення.

 

Завдання.

Перевірте правильність розв’язання та узагальнення  рівнянь:

 

1.Розв’язати рівняння: 

a)3^z-2^z=5; якщо z – натуральне число;

б) х ^z - у ^z=р; якщо x, у, z – дійсні додатні числа; р – просте число;

в) f ^z(х)- g ^z(y) = yx,  якщо f:R₊® R₊, g:R₊® R₊, x, у, z – дійсні додатні числа.

  Розв’язання.

а) 3^z-2^z=5 - це  показникове  рівняння.  Розглянемо  ліву частину як різницю квадратів і розкладемо її на множники:

(3^0,5z)²-  (2^0,5z)²=(3^0,5z -  2^0,5z )( 3^0,5z +  2^0,5z)

Праву частину рівняння можна записати: 5=1*5=5*1.

Ліва і права частини рівняння належать множині натуральних чисел. Тому

отримаємо дві системи показникових рівнянь:

1) 3^0,5z -  2^0,5z =5,    3^0,5z +  2^0,5z  =1;     2) 3^0,5z -  2^0,5z =1,    3^0,5z +  2^0,5z  =5;

Використаємо спосіб додавання для розв’язування систем рівнянь.

1) Якщо додати два рівняння у системі 1), тоді

2*3^0,5z=6;   обидві частини  поділимо на 2.

3^0,5z=3, обидві частини піднесемо до степені 2.

3^z =9;  3^z =3²;  отже  z=2.

 

2) Якщо відняти два рівняння у системі 2), тоді

-2*2^0,5z=-4;   обидві частини  поділимо на -2. 

2^0,5z=2;   обидві частини піднесемо до степені 2.

2^z =4;  2^z =2²;  отже  z=2.

Перевірка: 3² -2² = 5.

Відповідь: z=2.

б) х ^z - у ^z = р - це  показникове-степеневе  рівняння.  Розглянемо  ліву частину як різницю квадратів і розкладемо її на множники:

(х^0,5z)²-  (у^0,5z)²=(х^0,5z -  у^0,5z )( х^0,5z +  у^0,5z)

Праву частину рівняння можна записати: р=1*р=р*1.

Ліва і права частини рівняння належать множині натуральних чисел. Тому

отримаємо дві системи показникових рівнянь:

1) х^0,5z -  у^0,5z =р,    х^0,5z +  у^0,5z  =1;     2) х^0,5z -  у^0,5z =1,    х^0,5z +  у^0,5z  =р;

Використаємо спосіб додавання для розв’язування систем рівнянь.

1) Якщо додати два рівняння у системі 1), тоді

2*x^0,5z=р+1;   обидві частини  поділимо на 2.

x^0,5z=0,5(р+1), обидві частини піднесемо до степені 2.

x^z =0,25(р+1)²;  обидві частини рівняння логарифмуємо за основою x;

z=log_x(0,25(р+1)²); 

x^z =0,25(р+1)²;  обидві частини рівняння піднесемо до степені  1/z = z^-1.

x^z*⁽¹/^z) =(0,25(р+1)²)*⁽¹/^z);  отже  x =(0,25(р+1)²)*⁽¹/^z) .

2) Якщо відняти два рівняння у системі 2), тоді

-2*y^0,5z=1-р;   обидві частини  поділимо на -2.

y^0,5z=0,5(р-1), обидві частини піднесемо до степені 2.

y^z =0,25(р-1)²;  обидві частини логарифмуємо за основою e;

z=log_y(0,25(р-1)²);   

у^z =0,25(р-1)²;  обидві частини рівняння піднесемо до степені  1/z = z^-1.

у^z*⁽¹/^z) =(0,25(р-1) ²)*⁽¹/^z);  отже  у =(0,25(р-1)²)*⁽¹/^z) .

 

Перевірка:   (0,25(р+1)²)*⁽¹/^z)* z - (0,25(р-1)²)*⁽¹/^z)* z = p

Відповідь:   x =(0,25(р+1)²)*⁽¹/^z) ;  у =(0,25(р-1)²)*⁽¹/^z) ,  z – дійсні додатні числа;

 

 

d) f ^z (x) - g ^z (y)= xy - це  показникове-степеневе функціональне  рівняння.  Розглянемо  ліву частину як різницю квадратів і розкладемо її на множники:

(f(х)^0,5z)²-  (g(у)^0,5z)²=(f(х)^0,5z – g(у)^0,5z )(f(х)^0,5z + g(у)^0,5z)

Праву частину рівняння можна записати: xy=y*x=xy*1.

Ліва і права частини рівняння належать множині натуральних чисел. Тому

отримаємо дві системи показникових рівнянь:

1) f(х)^0,5z -  g(у)^0,5z =x,    f(х)^0,5z +  g(у)^0,5z  =y;   

 2) f(х)^0,5z -  g(у)^0,5z =1,    f(х)^0,5z +  g(у)^0,5z  =xy;

Використаємо спосіб додавання для розв’язування систем рівнянь.

1) Якщо додати два рівняння у системі 1), тоді

2* f(х)^0,5z=xy+1;   обидві частини  поділимо на 2.

f(х)^0,5z=0,5(xy+1), обидві частини піднесемо до степені 2.

f(х)^z =0,25(xy+1)²;  обидві частини рівняння логарифмуємо за основоюf(х);

z=log _f(х) (0,25(xy+1)²);   

f(х)^z =0,25(xy+1)²;  обидві частини рівняння піднесемо до степені  1/z= z^-1.

f(х)^z*⁽¹/^z) =(0,25(xy+1)²)*⁽¹/^z);  отже  x =(0,25(xy+1)²)*⁽¹/^z) .

2) Якщо відняти два рівняння у системі 2), тоді

-2* g(у)^0,5z=1-xy;   обидві частини  поділимо на -2.

g(у)^0,5z=0,5(xy-1), обидві частини піднесемо до степені 2.

g(у)^z =0,25(xy-1)²;  обидві частини логарифмуємо за основою e;

z=log_y(0,25(xy-1)²);   

g(у)^z =0,25(xy-1)²;  обидві частини рівняння піднесемо до степені  1/z= z^-1.

g(у)^z*⁽¹/^z) =(0,25(xy-1) ²)*⁽¹/^z);  отже  g(у) =(0,25(xy-1)²)*⁽¹/^z) .

 

Перевірка:   (0,25(xy+1)²)*⁽¹/^z)* z - (0,25(xy-1)²)*⁽¹/^z)* z = xy

 

Відповідь:   f(х)=(0,25(xy+1)²)*⁽¹/^z) ;  g(у) =(0,25(xy-1)²)*⁽¹/^z) ,  z – дійсні додатні числа;

 

 

1.100  Дивні рівняння

 

Кмітливий Івасик придумав таке рівняння:

(х – у+1)^2х + (х + у+3)^2у = 0

  і сказав, що його він може розв’язати  усно.

 

Завдання

1.Не виконуючи тотожних перетворень, розв’язати рівняння усно і перевірити знайдені розв’язки:

a)     (х – 2у+4)^2х + (х + 2у – 4)^2у = 0.

b)    (х – у+5)^2х + (х + у –  5)^2х = 0.

 

Компетентнісні завдання для розвитку високорівневих здібностей 

 

1.86 Відношення порядку

Уявіть себе людиною, що впорядковує всілякі  об’єкти згідно деякого правила. Це правило назвемо словом «відношення» порядку на множині натуральних чисел. Вам треба проявити усі свої здібності для такого завдання.

Завдання

Розподілити  двадцять  тверджень на три групи:

·        перша група тверджень, які завжди правильні на множині натуральних чисел;

·        друга група тверджень, які завжди неправильні на множині натуральних чисел;

·        третя група тверджень, які не входять до першої та до другої групи.

Твердження:

1.           Існує  натуральне число між двома числами 2m  та  2m -1,  де  m  − натуральне число.

2.           Серед  обмеженої кількості  натуральних чисел  є  найбільше та найменше число, які можна записати  або 5m,  або 5m -1, або 5m -2, або  5m -3,  або 5m - 4, де  m − натуральне число.

3.            Серед  необмеженої кількості  натуральних чисел  є  найменше число, які можна записати  або 9m,  або 9m - 1, або 9m - 2, або  9m - 3,  або 9m - 4,  9m - 5, або 9m -6, або  9m - 7,  або 9m -8, де  m − натуральне число.

4.           Серед будь-яких двох парних   натуральних  чисел  вигляду  існує  непарне число, яке можна записати або 9m + 1, або  9m + 3,  або 9m + 5, або  9m + 7,

5.           Не можливо  знайти  парне числа серед будь-яких двох непарних   натуральних  чисел,  які записуються  у вигляді  або 5m,  або 5m+2, або 5m+4, де  m − натуральне число.

6.     Одиниця не є наступним елементом жодного з чисел натурального ряду.

7.           Для довільного натурального числа існує наступне натуральне число.

8.           Якщо для довільних двох  натуральних чисел відповідні їм на­ступні числа збігаються, то самі ці елементи рівні.

9.           Якщо множина М складається з натуральних чисел і містить одиницю ряду натураль­них чисел та для кожного натурального числа множини М наступне для нього також належить до М, то ряд натуральних чисел являється  підмножиною М.

10.   Серед будь-яких  натуральних чисел вигляду 4m  або  4m +1, або 4m + 2, або  4m + 3   не можливо  знайти  найменшого числа,  яке записуються  у вигляді  7m +1, або 7m+2,  де  m − натуральне число.

11.  Серед будь-яких  натуральних чисел вигляду 4m  або  4m+1, або 4m+2, або  4m+3  можна  знайти найбільше число,  яке  записуються  у вигляді  або  3 m, або 3m -1, або 3m-2,  де  m − натуральне число.

12.  Серед будь-яких  трьох натуральних чисел вигляду 3m  або  3m+1, або 3m+2   можна  два послідовні парні числа знайти числа,  які записуються  у вигляді  або 2m+2, або 2m,  де  m − натуральне число.

13.  Якщо число парне, тоді його попереднє і наступне непарні числа, які записується  у вигляді   або  9m+2, або  9m+4,  або  9m+6, або 9m+8,  де  m − натуральне число.

14.  Якщо натуральне число ділиться на 3, тоді воно записується  у вигляді  або 3m+1, або  3m+2, де  m − натуральне число.

15.  Якщо натуральні  числа записується  у вигляді  або  6m+1, або  6n+2, або 6p+5, або  6k+4,  або 6g+3,  тоді серед них немає рівних чисел.

16.  Якщо натуральні числа записуються у вигляді 5n - 4 і 3m +1, тоді вони можуть бути рівними між собою і записуються або  6m+1, або  6m+2, або 6m+5, або  6m+4,  або 6m+3, де  m − натуральне число.

17.  Якщо три натуральні числа записується  у вигляді  6m+1,   6m+2,  6m+3,  тоді  три наступні натуральні числа  відповідно  записуються  у такому порядку 6n+5,  6n+4,  6n+3, де  m, n − натуральні числа.

18.  Якщо  натуральні числа записується  у вигляді  7m+1,  7m+2,  7m+3  тоді  три попередні натуральні числа  записуються у такому порядку 7k,  7k -1, 7k  -2, де  m, k − натуральні  числа.

19.  Якщо натуральні числа записується  у вигляді  8m+8,  4m+4,  тоді   їхні попередні  числа  є непарними і  записуються  відповідно 8m - 7,  4m+3, де  m − натуральне число.

20.  Якщо натуральні числа записується  у вигляді  9m+1,  24m+2,  тоді   вони  ніколи не можуть бути рівними,  де  m − натуральне число.

 

1.87 Алгоритм художника 

 

Алгоритм художника, також відомий як пріоритетне заповнення, є одним з найпростіших рішень проблем які виникають в комп'ютерній 3D графіці. При проектуванні 3D-сцени на 2D площину, необхідно в якийсь момент вирішити, які багатокутники видно, і які приховані або частково приховані.

Назва «алгоритм художника» відноситься до техніки, яка використовується багатьма художниками живопису для віддалення частин сцени, які перекриваються частинами, розташованими ближче до спостерігача. Алгоритм художника сортує всі багатокутники в сцені по їх глибині і потім малює їх у порядку від найвіддаленішого до найближчого. Алгоритм буде зафарбувати ті частини, які зазвичай не видно — тим самим вирішуючи проблему видимості — ціною фарбування областей віддалених об'єктів, які не будуть видимими. Порядок, який використовує алгоритмом називається «порядок глибини», який використовує числову відстань до частин сцени: істотна властивість цього впорядкування, полягає в тому, якщо один об'єкт заступає частину іншого, тому перший об'єкт буде забарвлений після об'єкта, який він приховує. Таким чином, такий порядок може бути описаний як топологічне впорядкування орієнтованого ациклічного графа, що представляє розташування об'єктів

 

Завдання.

1.Чи можна впорядкувати 3 різнокольорові прямокутники на площині так, щоб:

а) можна було визначити порядок глибини кожного з них;

б) не можна було визначити порядок глибини кожного з них;

в) можна було говорити, що кожний прямокутник займає усі три рівні глибини?

2.Чи можна впорядкувати  4 різнокольорові прямокутники на площині так, щоб:

а) можна було визначити порядок глибини кожного з них;

б) не можна було визначити порядок глибини кожного з них;

в) можна було говорити, що кожний прямокутник займає усі 4 рівні глибини?

3.Чи можна впорядкувати  5 різнокольорові прямокутники на площині так, щоб:

а) можна було визначити порядок глибини кожного з них;

б) не можна було визначити порядок глибини кожного з них;

в) можна було говорити, що кожний прямокутник займає усі 5 рівні глибини?

 

1.88 Періодичні функції

 

Цікаві факти. Якщо періодична функція має період Т, то вона має нескінчену множину періодів:

{…, - n∙T, …, -4∙T, -3∙T, - 2∙T,  -T,   T,  2∙T,  3∙T,  4∙T , … }.

 

Означення. Найменший з додатних періодів, якщо він існує, називається основним періодом періодичної функції.

Наслідок. Якщо функція має основний період, то будь-який інший період кратний до основного.

Властивість 2. Якщо число Т – ненульовий період функції f(х), то функція , що являється лінійною комбінацією цією функції із лінійним комбінацією аргумента

у = А f(mх+n)+В 

де А , m, n, В – постійні дійсні числа.

також є періодичною і її період дорівнює частці T:|m|, m ≠ 0.

Властивість 3. Якщо число Т –період функції f(х), то складена функція

 у = g( f(х)) також є періодичною і її період дорівнює T, але він можливо і не найменший за абсолютною величиною.

Властивість 4.  Графік періодичної функції  з періодом Т (Т>0)/ можна розрізати на довільну кількість рівних фігур.

Щоб на графіку періодичної функції знайти рівні фігури варто спочатку дослідити і побудувати графік періодичної функції (цей графік є наочним зображенням деякого циклічного процесу  чи періодичного явища) на проміжку, довжина якого дорівнює найменшому додатному періоду функції, а потім  виконати паралельне перенесення  цієї фігури уздовж осі Ох отриманого графіка на відстань n∙T ліворуч і праворуч.

 

Властивість 5.  Період  алгебраїчної суми періодичних функцій  з спільними періодами дорівнює найменшому спільному кратному періодів усіх доданків, за виключенням подібних членів, сума яких після зведення рівна нулю.

Властивість 6.  Періодичні функції не мають похилих та горизонтальних асимптот.

Зауваження1. Виявляється, що якщо у двох періодичних функцій немає спільних періодів, то їх сума, різниця, добуток можуть бути неперіодичними!

Наприклад: у = sin(px)  + sin3x;  у = sin(px)∙sin3x;

Зауваження2.   Виявляється може бути періодичною функція, що є сумою періодичної і неперіодичної функції.

Наприклад, у = sin(px)  + sin3x  + (- sin3x);   

Зауваження3. Для доведення неперіодичності  функції досить показати, що вона неперіодично повторює яку-небудь властивість даної функції.

 

Завдання

Яка функція являється періодичною?

а)функція ант’є;    б) функція мантиса;     в) квадратична;  г) лінійна.

Яке число є основним періодом  періодичної функції?

а)найменший із усіх періодів;

б) найбільший із усіх періодів;

в) найбільший за абсолютною величиною; 

г) найменший за абсолютною величиною.

Чи може періодична функція мати тільки один період?

а)може, тільки нуль;     б) не обов’язково;     в) не може;  г) а)може, тільки  не нуль.    

Чи вірно, що сума двох періодичних функцій завжди періодична?

а) так, вірно завжди;   б) не завжди вірно;          в) не вірно.

Як знайти період  Т  різниці двох періодичних функцій  f₁(x) -  f₂(x)?

            а) Т = НСК(Т₁;Т₂);   б) Т = НСД(Т₁;Т₂);   в) Т = mах(Т₁;Т₂);    г) Т = min(Т₁;Т₂).

Чи вірно, що добуток двох періодичних функцій завжди періодична функція?

а) так, вірно завжди;   б) не завжди вірно;          в) не вірно.

Як знайти період добутку двох різних періодичних функцій з однаковими основними періодами f₁(x) ∙f₂(x)?

   а) Т = НСД(Т₁;Т₂);   б) Т = Т₁=Т₂;   в) Т = mах(Т₁:Т₂ ;  Т₁∙Т₂);    г) Т = min(Т₁:Т₂ ;  Т₁∙Т₂ ).

Чи може сума неперіодичних функцій бути періодичною функцією?

а) це завжди періодична; б) це ніколи неперіодична;  в) інколи може.

Відомо, що N(x) – неперіодична функція,  а  Р(x) - періодична функція. Чи вірно, що складена функція  N(Р(x) ) -  періодична?

а) так, вірно завжди;   б) не завжди вірно;          в) не вірно.

Відомо, що N(x) – неперіодична функція,  а  Р(x) - періодична функція. Чи вірно, що складена функція  Р(N(x) ) -  періодична?

а) так, вірно завжди;   б) не завжди вірно;          в) не вірно.

Відомо, що S(x) – періодична функція,  а  Р(x) - періодична функція. Чи вірно, що функція  A∙S(x)  + B∙P(x)  + C∙Р(x) ∙S(x)     -  періодична ( А, В, С – ненульові, дійсні числа)?

а) так, вірно завжди;   б) не завжди вірно;          в) не вірно.

  Відомо, що Р(x) – періодична функція. Чи вірно, що функція

           | N(x)|   = max{ -1∙Р(x); Р(x) }  –   періодична?

а) так, вірно завжди;   б) не завжди вірно;          в) не вірно.

        14.  Чи вірно, що періодичні функції не мають похилих та горизонтальних асимптот?

а) так, вірно завжди;   б) не завжди вірно;          в) не вірно.

Відомо, що Р(x) – періодична функція. Чи вірно, що функція

           | N(x)|   = Р(x + А)  –   періодична (А, В, С – ненульові, дійсні)?

 а) так, вірно завжди;   б) не завжди вірно;          в) не вірно.

Відомо, що Р(x) – періодична функція. Чи вірно, що функція

           | N(x)|   = А∙Р(x) }  –   періодична (А, В, С – ненульові, дійсні)?

 а) так, вірно завжди;   б) не завжди вірно;          в) не вірно.

Відомо, що Р(x) – періодична функція. Чи вірно, що функція

           | N(x)|   = А∙Р ^к (x +А) }  –   періодична (А, к– ненульове дійсне)?

 а) так, вірно завжди;   б) не завжди вірно;          в) не вірно.

Відомо, що Р(x) – періодична функція. Чи вірно, що функція

           | N(x)|   = А∙Р (x ^к +А) }  –   періодична (А, к– ненульове дійсне)?

 а) так, вірно завжди;   б) не завжди вірно;          в) не вірно.

 

1.89 Оптимальні  розміри фігур  

 

Оленка спекла на день народження тата великий торт у формі прямої трикутної призми, в основі якої лежить прямокутний  трикутник.   Найдовше  ребро трикутного торта дорівнює 38 см, а висота торта  8 см.  Якою має бути найбільша площа нижньої  основи такого  трикутного торта? Який шматок  торта отримає кожний учасник(їх рівно 38 осіб)  торжества, якщо під час торжества тато Олени  розрізає їх на 38 рівних частинок, при цьому  сім учасникам торжества солодке їсти не бажано і вони відмовилися від своє частини, а інші учасники з’їли увесь трикутний торт рівними шматками.

 

Завдання

1)    Серед усіх тортів у формі прямої трикутної призми  прямокутного трикутника з даною площею  верхньої грані S кв. од.  знайдіть той, що має найменшу суму  довжин усіх 9  ребер торта, якщо висота торта дорівнює р од. довжини, а верхня та нижні грані торта рівні? 

2)    Серед усіх тортів у формі прямої трикутної призми з основою рівнобедреного  трикутника з даною площею  верхньої грані S кв. од. і спільною основою рівнобедреного трикутника  знайдіть той, що має найменшу суму  довжин усіх 9  ребер торта, якщо висота торта дорівнює р од. довжини, а верхня та нижні грані торта рівні? 

3)    У круговий сегмент радіуса Rод. довжини та  висотою р од. довжини вписати трикутник найбільшої площі.

4)    Серед усіх трикутників із сторонами а та с знайти трикутник найбільшої площі.

5)    Серед усіх трикутників з однаковою площею знайдіть трикутник найменшого периметра.

6)    Який паралелограм із сторонами а та с має найбільшу площу? Знайти цю площу.

7)    Серед усіх прямокутних трикутників з даною висотою h, опущеною на гіпотенузу, знайти той, що має найменшу площу.

8)    Серед усіх прямокутників даного периметра р знайти прямокутник, площа якого найбільша.

9)    При якому дійсному значенні а сума  квадратів коренів  рівняння

х²-ах+а²-3а-2=0 буде найбільшою?

10)        У кожний трикутник з площею Sвписано квадрат так, що дві його основи лежать на основі, а дві іші на бічних сторонах. Знайти трикутник, для якого сторона вписаного квадрата найбільша.

11)        Серед усіх трикутників, описаних навколо даного кола, знайти трикутник, що має найменший добуток висот трикутника.

 

 

 

Магічні числові фігури (4-6 кл)

 

Уявіть себе людиною, що вміє складати латинські та магічні квадрати і використовує їхні властивості на практиці, наприклад при дослідженні різних властивостей сортів пшениці.  Вам необхідно проявити свої здібності в утворенні числових квадратів з магічними сумами.

Нагадуємо способи утворення магічного квадрату 3х3 один одному.

Розташувати натуральні числа від 1 до 9 в магічний квадрат 3х3 можна 8 різними способами.  Знайдемо магічну суму для магічного квадрату 3х3:

(1+2+3+4+5+6+7+8+9):3 = 45:3 =15.

Утворимо суми з трьох доданків:

9+5+1 = 9+4+2 = 8+6+2 = 8+5+2 = 8+4+3  = 7+6+2 = 7+5+3 = 6+5+4 =15

У магічному квадраті 3х3 магічною постійною є число 15, отже,  повинні бути рівні сумі трьох чисел по 8 напрямам: по 3 рядкам, 3 стовпцям і 2 діагоналям. Оскільки число, що стоїть в центрі, належить 1 рядку, 1 стовпцю і 2 діагоналям, воно входить в 4 з 8 трійок, що дають в сумі магічну постійну. Таке число тільки одне: це 5. Отже, число, що стоїть в центрі магічного квадрата 3х3, вже відоме: воно рівне 5.

Розглянемо число 9. Воно входить тільки в 2 трійки чисел:  9+5+1 = 9+4+2 = 15. Ми не можемо помістити його в кут магічного квадрату, оскільки кожна кутова клітка належить 3 трійкам: рядку, стовпцю і діагоналі. Отже, число 9 повинно стояти в клітинці, що межує тільки із однією стороною  квадрата в її середині. Із-за симетрії квадрата байдуже, яку із сторін ми виберемо, тому пишемо 9 над числом 5, що стоїть в центральній клітці. По обидві сторони від дев'ятки у верхньому рядку ми можемо вписати тільки числа 2 і 4. Яке з цих двох чисел опиниться в правому верхньому кутку і яке в лівому, знову – таки не має значення, оскільки одне розташування чисел переходить в інше при дзеркальному віддзеркаленні. Решта кліток заповнюється автоматично. Проведений  нами спосіб побудови магічного квадрата 3х3 не єдиний. З іншими способами  познайомимося трохи пізніше.

Запитання:

1. Що необхідно знайти для того, щоб утворити магічний квадрат 3х3?

Відповідь: Спочатку треба знайти магічну суму для магічного квадрату 3х3:

(1+2+3+4+5+6+7+8+9):3 = 45:3 =15.

Потім утворити суми з трьох доданків:

9+5+1 = 9+4+2 = 8+6+2 = 8+5+2 = 8+4+3  = 7+6+2 = 7+5+3 = 6+5+4 = 15

2. Як утворити класичний магічний квадрат 3х3?

Відповідь: Для цього накресліть порожній клітинковий  квадрат, розміром 3х3. Випішіть підряд натуральні числа : 1, 2,3,4, 5, 6, 7, 8, 9. Заповніть  кожну клітинку якоюсь однією цифрою, використовуючи всі цифри, окрім 0, так , щоб  сума трьох чисел, що розташовані по горизонталям,  і  сума трьох чисел, що розташовані по вертикалям,  і  сума трьох  чисел, що розташовані по діагоналям була однакова.

Обговорення  отриманих  відповідей між учнями.

Зрозуміло, що для того аби знайти число, яке рівне  сумі чисел по рядкам,  треба додати усі цифри та отримати 45. Якщо це число розділити на 3, то отримаємо 15. Отже, сума по горизонталях, по вертикалям, по діагоналям рівна 15. Середнє серед цифр 1, 2, 3,  4, 5, 6, 7, 8, 9 - це 5, тому воно повинно стояти в центральній клітинці. Помітимо, що числа рівновіддаленні від числа 5 – це числа однакової парності  і мають таку властивість: 1+ 9 =10, 2+8 =10, 3 + 7 =10, 4+ 6 = 10. Тоді в сусідній з нею клітинках повинні стояти непарні цифри.

Проблемне запитання: Чому в кутових клітинках магічного квадрату 3х3 повинні стояти тільки парні числа?

Відповідь: В кутових клітинках повинні  стояти тільки парні числа, бо у противному випадку не утвориться магічний квадрат. Адже якщо цифра 7 і 9 опиняються  або на одній діагоналі, або в одному стовпчику, тоді   порушуються магічна сума  на цій діагоналі або  в цьому стовпчику(адже 9+7=16, що не рівне 15).

Знайшовши одне правильне розташування чисел в магічному квадраті можна отримати ще вісім  таких квадратів за допомогою повороту навколо центральної клітинки.

                                  

	5

 

4		2
	5
8		6

 

4	9	2
3	5	7
8	1	6

 

 

                                                                          

	9
3	5	7
	1

   

Отже, ми виявили деякі закономірністі  утворення  класичного магічного квадрату 3х3.   

 

 

Завдання.

1. Продовжте послідовності чисел  на три числа:

123, 456, 789, 101, 112, 131, 415, ... Чи вірне таке продовження: 161, 718, 192?

100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, …  Чи вірне таке продовження: 289, 324, 361?

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, … Чи вірне таке продовження: 144, 233, 377?

1211, 2211, 1222, 1111, 2222, … Чи вірне таке продовження:  1111, 1222, 2211?

Самостійно створіть закон утворення послідовності чисел і запишіть його…

2. Продовжте послідовності на три букви:

П, В, С, Ч, …  Чи вірне таке продовження:  П, С, Н. (дні тиждня)?

С, Л, Б, К, …  Чи вірне таке продовження:  Т, Ч, Л. (назви місяців)?

К, О, Ж, З, …  Чи вірне таке продовження:  Г, С, Ф (кольори веселки)?   

О, Д, Т, Ч, … Чи вірне таке продовження:  П, Ш, С (назви цифр)?

Самостійно створіть закон утворення послідовності  букв і запишіть його…

3. Розмістити в таблиці 3х3,  в якій заповнені дві кутові клітинки нижньої горизонталі  відповідно 3 та 4,  числа 1, 2 та від 5 до 9 так, щоб виконувались дві такі умови: 1) сума чотирьох чисел в будь-якому квадраті 2х2 була однакова; 2) число записане в центрі таблиці було найбільшим із можливих.

3		4

 

4. Розмістити в таблиці 3х3, в якій заповнені дві кутові клітинки нижньої горизонталі відповідно 7 та 8,  числа від 1 до 6 і 9 так, щоб виконувались дві такі умови: 1) сума  чотирьох чисел в будь-якому квадраті 2х2 була однакова; 2) число записане в центрі таблиці було найменшим із можливих.

7		8

 

 

 

5. Розмістити в таблиці 3х3,  числа від 21 до 29 так, щоб виконувалась така умови: сума  по усіх рядках, по усіх колонках, по двох діагоналях була однакова.

 

 

6. Циферблат годинника треба  розрізати на 4 частини так, щоб суми чисел кожної частини були чотирма послідовними числами 18, 19, 20, 21.

 

 

 

7. Розмістити в таблиці 3х3,  числа від 1 до 9 так, щоб виконувалась така умови: 1) по усіх рядках, по усіх колонках сусідні(послідовні) числа не  стоять поряд; 2) по кожній діагоналі квадрата суми чисел рівні ; 3) сума чисел по центральному рядку та  центральному стовпчику рівні.

 

8. Розмістити в таблиці 3х3  числа від 1 до 9 так, щоб виконувались дві такі умови: 1) сума чотирьох чисел в будь-якому квадраті 2х2 була різна; 2) число записане в центрі таблиці було найбільшим із можливих; 3) по кожній діагоналі квадрата суми чисел рівні і найбільші із можливих; 4) суми чисел по центральному рядку та  центральному стовпчику рівні  і найменші із можливих.

 

9. Заповнити таблицю 1х21, використовуючи цифри 1, 2, 3, 4, 5 та дотримуючись таких умов: 1) будь-які дві сусідні цифри в таблиці не рівні; 2) всі двоцифрові числа, що утворені двома сусідніми цифрами, відрізняються між собою, якщо читати їх зліва направо.

 

10. Розставити числа від 1 до 8 у зафарбованих клітинках таблиці 3х4 так, щоб жодних два послідовних числа не стояли у клітинках, які мають спільну вершину.

 

11. Розставити двоцифрові числа, які утворені з цифр 1, 2,  3,  4, 5 у клітинках таблиці 4х4 так, щоб жодних два послідовних числа не стояли у  клітинках, які мають спільну сторону і  будь-яке двоцифрове число не містило однакових цифр.

 

12. Розмістити в таблиці 3х3,  числа від 3, 6, 9, 12, …, 27  так, щоб виконувалась така умови: сума  по усіх рядках, по усіх колонках  була однакова.

 

 

1.85  Числові стрічки(4-6 клас)

 

 

Уявіть себе художником і вам треба підібрати декілька кольорів для  розфарбування стрічки. Кольори для зручності будемо позначати числами від 0 до 8. Вам треба дослідити властивості цієї стрічки з номерами кольорів.

 

0

1

2

3

4

5

6

7

8

 

 

1. У кожній клітинці 9-клітинкової стрічки розташовані числа від 0 до 8.

Обґрунтуйте, чому сума чисел у будь-яких трьох послідовних клітинках  ділиться націло на 3.

2. Заповніть порожню стрічку числами 0, 1, 2, так, щоб сума у трьох сусідніх клітинках дорівнювала 3. Дотримуючись умов задачі, обґрунтуйте відповіді на такі питання:

a)     Скільки існує способів заповнення цієї стрічки?

b)    Скільки клітинок будуть заповнені  одним числом?

c)     Чи завжди сума в будь-яких шести послідовних клітинках цієї стрічки ділиться на  6?

d)    Яка найменша кількість послідовних  клітинок заповненої стрічки,  в яких сума чисел рівна 5?

e)     В скількох послідовних клітинках заповненої стрічки знаходиться найбільший добуток чисел?

f)      Чому дорівнює  найменше число, яке може утвориться в заповненій стрічці?

g)     Чи рівні  між собою усі можливі добутки семи чисел, які знаходяться у необов’язково послідовних семи клітинках заповненої стрічки?

h)    Скільки найменше треба взяти будь-яких клітинок  із  заповненої стрічки, аби  добуток чисел цих клітинок  був найбільшим?

 

3.У кожній клітинці 9-клітинкової стрічки розташовані натуральні числа. Виконується властивість: для будь-яких трьох послідовних клітинок заповненої стрічки виконуються умова: сума  чисел рівна чотири.

Дотримуючись цих умов, обґрунтуйте відповіді на такі питання: Скільки існує способів заповнення цієї стрічки?

a)     Яка найменша кількість клітинок буде заповнена одним числом?

b)    Чи завжди сума в будь-яких шести послідовних клітинках цієї стрічки рівна 6?

c)     Яка найменша кількість послідовних  клітинок заповненої стрічки,  в яких сума чисел рівна 5?

d)    В скількох послідовних клітинках заповненої стрічки знаходиться найбільший добуток чисел?

e)     Чому дорівнює  найменше число, яке може утвориться в заповненій стрічці?

f)      Чи рівні  між собою усі можливі добутки семи чисел, які знаходяться у необов’язково послідовних семи клітинках заповненої стрічки?

g)     Скільки найменше треба взяти будь-яких клітинок  із  заповненої стрічки, аби  добуток чисел цих клітинок  був найбільшим?

h)    Чи для будь-яких трьох послідовних клітинок заповненої стрічки добуток чисел однаковий?

 

4.У кожній клітинці 9-клітинкової стрічки розташовані натуральні числа. Виконується властивість: для будь-яких чисел з трьох послідовних клітинок заповненої стрічки виконуються умова: сума  і добуток  рівні між собою. Дотримуючись цих умов, обґрунтуйте відповіді на такі питання:

a)     Скільки існує способів заповнення цієї стрічки?

b)    Яка найменша кількість клітинок буде заповнена одним числом?

c)     Чи завжди сума в будь-яких шести послідовних клітинках цієї стрічки рівна 12?

d)    Яка найменша кількість послідовних  клітинок заповненої стрічки,  в яких сума чисел рівна 15?

e)     В скількох послідовних клітинках заповненої стрічки знаходиться найбільший добуток чисел?

f)      Чому дорівнює  найменше число, яке може утвориться в заповненій стрічці?

g)     Чи рівні  між собою усі можливі добутки семи чисел, які знаходяться у необов’язково послідовних семи клітинках заповненої стрічки?

h)    Скільки найменше треба взяти будь-яких клітинок  із  заповненої стрічки, аби  добуток чисел цих клітинок  був найбільшим?

i)       Чи для будь-яких шести послідовних клітинок заповненої стрічки добуток чисел однаковий?

Відповіді.

 До задачі  1.

a)     Так як остачі від ділення на 3 для трьох послідовних чисел:  3 = 0+1+2, тоді для розташування  цих чисел в перших трьох клітинках існує 1∙2∙3=6 способів. Тобто 0+1+2 = 0+2+1 = 1+0+2 = 1+2+0 = 2+1+0 = 2+0+1. Таким чином, існує  шість способів заповнення стрічки.

b)    9:3=3 клітинки будуть заповнені  числом 2.

c)     Так, адже у будь-яких трьох послідовних клітинках  рівна 3, тому  у шести послідовних клітинках 3+3=6.

d)    4 клітинки, адже у будь-яких  чотирьох послідовних клітинках заповненої стрічки обов’язково містяться  клітинки з числами 0 і 1. Наприклад; 2+0+1+2=5.

e)     В двох клітинках, бо у будь-яких  трьох послідовних клітинках заповненої стрічки обов’язково міститься  клітинка з числом 0. Тому добуток чисел у послідовних трьох клітинках рівний нулю. Найбільший добуток  в двох клітинках рівний 2.

f)      12012012.

g)     Так, рівні нулю. За принципом Діріхле знайдеться принаймні одна клітинка з цифрою 0..

h)    Три клітинки з числами 2. Найбільший добуток рівний 6.

До задачі  2.

a)     Так як 4= 1+1+2=1+2+1=2+1=1,  тоді для розташування  цих чисел в перших трьох клітинках стрічки існує 3 способи, а всі інші клітинки заповнюються однозначно відповідно до умови задачі. Існує три способи заповнення стрічки.

b)    9:3=3 клітинки.

c)     Ні, адже у будь-яких трьох послідовних клітинках  рівна 4, тому у шести послідовних клітинках  4+4=8.

d)    4 клітинки, адже у будь-яких  чотирьох послідовних клітинках заповненої стрічки обов’язково містяться  клітинки з числами 2 і 1. Наприклад; 1+2+1+1=5.

e)     Не менше, ніж в семи клітинках, бо у будь-яких  трьох послідовних клітинках заповненої стрічки обов’язково міститься  клітинка з числом 2. Тому добуток чисел у послідовних трьох клітинках рівний 2. Найбільший добуток  в семи клітинках рівний 8.

f)      112 млн. 112 тис. 112.

g)     Ні, вони можуть бути рівні 2, 4, 8. За принципом Діріхле серед семи клітинок знайдеться принаймні одна клітинка з цифрою 2.

h)    Три клітинки з числами 2. Найбільший добуток рівний 6.

i)       Так, адже 1∙1∙2 = 2∙1∙1= 1∙2∙1.

До задачі 3

j)       Так як 6 = 1+2+3=1∙2∙3,  тоді для розташування  цих чисел в перших трьох клітинках стрічки існує 6 способів, а всі інші шість клітинок заповнюються однозначно відповідно до умови задачі. Існує три способи заповнення стрічки.

k)    9:3=3 клітинки.

l)       так, адже у будь-яких трьох послідовних клітинках  рівна 6, тому у шести послідовних клітинках  6 + 6 = 8.

m)  7 клітинок, адже у будь-яких  трьох послідовних клітинках заповненої стрічки обов’язково містяться  клітинки з числами 3, 2 і 1.

n)    В восьми клітинках, бо у будь-яких  трьох послідовних клітинках заповненої стрічки обов’язково міститься  клітинка з числом 1. Тому добуток чисел у послідовних восьми клітинках рівний 216. Найбільший добуток  в цих клітинках рівний 216.

o)    123 млн. 123 тис. 123.

p)    Ні, вони можуть бути рівні 36, 72, 108. За принципом Діріхле серед семи клітинок стрічки знайдеться принаймні три клітинки з числами або 2, або 3, або 1.

q)    Три клітинки з числами 6. Найбільший добуток рівний 216.