Усі доступні розділи > Творча... > Лінійн... > http://ru.ca... > Компет...

Компетентнісні задачі

Останнє редагування: 2017-05-31

Автор: Негода Сергій Петрович

Зміст дистанційного курсу

«Лінійна функція»

для формування високорівневих компетенцій

в учнів 7 - 8 клас

Модуль 1. Поняття відображення. Поняття лінійної функції.

Модуль 2. Лінійні діофантові рівняння з двома невідомими.

Модуль 3. Рівняння прямої в прямокутній системі координат з кутовим коефіцієнтом.

Модуль 4. Властивості рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом.

Модуль 5. Форми запису рівняння прямої.

Модуль 6. Властивості загального рівняння прямої.

Модуль 7. Рівняння висоти, медіани трикутника.

Модуль 8. Практикум. Рівняння першого степеня з модулями.

Модуль 9. Практикум. Рівняння першого степеня з параметрами.

Модуль 10. Практикум. Графіки функцій.

Модуль 11. Взаємно обернені лінійні функції.

Модуль 1

Математичний курс «Лінійна функція»

Поняття лінійної функції.

Функція – одне з найважливіших понять сучасної математики. Воно виникло в XVII столітті. Спочатку Р.Декарт увів поняття змінної величини і систему координат, став розглядати залежність ординат точок графіка від їх абсцис. Слово „функція” для назви таких залежностей вперше ввів німецький математик Г.Лейбніц. Швейцарський математик Л.Ейлер функцією називав вираз, складений з змінної і чисел. Наприклад, вираз 3х + 5 – функція від змінної х, бо значення даного виразу залежить від значень х. Чеський математик Б. Больцано ще більше розширив поняття функції, він під функцією розумів будь-яку залежність однієї величини від іншої. Це поняття зусиллями багатьох математиків уточнювалось, розширювалось, наповнювалось новим змістом. Найзагальніше сучасне його означення запропонувала в ХХ ст. група математиків, що виступала під псевдонімом Н. Бурбакі:

„Функція – це відношення, при якому кожному елементу області відправлення відповідає рівно один елемент області прибуття”. Під областю відправлення (областю визначення функції) і областю прибуття (області її значень) розуміють будь-які множини, а не тільки числові. Ми будемо розглядати числові функції.

1. Така залежність між змінними x та у, в якій кожному значенню х з деякої множини D відповідає одне і тільки одне значення у, називається функціональною залежністю, або функцією.

Наприклад: а) Залежність між натуральними числами та їх квадратами називається функціональною залежністю.

б) Якщо кожному натуральному числу поставити у відповідність число, йому протилежне, то одержимо функціональну залежність.

в) у = 2х – 3, функціональна залежність, бо кожному значенню змінної х відповідає єдине значення змінної у.

2. Змінну х називають аргументом даної функції, або незалежною змінною.

Змінну у називають функцією від х, або залежною змінною.

3. Способи задання функції:

а) описанням, наприклад, кожному натуральному числу поставлено у відповідність його квадрат;

х – аргумент, у – функція.

б) формулою, наприклад:

у = 2х – 3, х – аргумент, у – функція.

S = Vt, t – аргумент,V – функція.

S = πR² R – аргумент,S – функція.

в) таблицею, наприклад:

х	1	2	3	4	5
у	-1	1	6	5	7

х – аргумент, у – функція.

г) графіком

4. Область визначення функції, множина її значень.

а) Значення, які може набувати змінна х, називаються областю визначення функції.

б) Значення, які набуває змінна у називаються множиною значень.

Приклади.

1) Функцію задано формулою у = х²– 3х.

Знайти значення функції, коли х дорівнює: –2;0;2.

Розв’язання.

Якщо х = – 2, то у = (–2)² – 3 (–2) = 10.

Якщо х = 0, то у = 0² – 3=-3

Якщо х = 2, то у = 2²– 3=1

2) Знайти область визначення функції, заданою формулою:

а) у = 5х – 1.

Розв’язання.

Змінна х може набувати будь-яких значень. Область визначення даної функції – множина всіх дійсних чисел.

Властивості відображень. Структура функції.

Означення. Нехай X , Y ‒ деякі множини. Відображенням f множини Х у множину Y будемо називати правило, яке кожному елементу х є Х ставить у відповідність точно один елемент у є Y.

Слово «функція» має латинське походження, finction – виконувати. Цей термін ввів в математичну науку Г. Лейбніц. Позначення функції Г. Лейбніцом було таким:

у = f(х), хєХ.

Зараз для позначення функції використовують інше позначення:

f: Х ®Y.

Часто другу множину Y називають цільовою множиною чи образом функції, чи відображення.

Зауваження.Фактично в наведеному означенні відображення fвідбулася така підміна слів, а саме, «правило» замінили на «відповідність».

Слова: функція, відображення, оператор, відповідність, перетворення, формула вигляду у = f(х), таблиця nxm, трансформація, – слова-синоніми, що дуже близькі до поняття взаємодії між двома множинами. Однак, кожне з цих слів, вказує на різні точки зору математиків на зміст відповідності або принцип(властивості) взаємодії між двома множинами і на різну природу двох множин. Ось чому точний зміст правила відображення між двома множинами є найважливішим при задані функції.

Таким чином, задання функції вимагає від математика спочатку дати точне означення трьох обʼєктів:

1) усіх елементів множини Х, яку називають ще множиною визначення функції, у шкільній математиці її називають областю визначення функції і позначають символом D(f). Для функції, заданої деякого формулою, під областю визначення функції часто розуміють (якщо вона прямо не зазначена) множину допустимих значень аргументу, тобто всіх тих його значень, для яких формула дає дійсне значення для функції;

2) усіх елементів множини Y, яку називають ще множиною значення функції(у шкільній математиці її називають областю значення функції) і позначають символом Е(f).

3) правило, яке ставить у відповідність кожному елементу х із множини D(f) точно один елемент із множини Е(f).

Приклад 1.а) Якщо ставиться правило взаємодії між множиною автомобілів А і множиною водіїв В, то отримуємо процес, який називають рух транспортних засобів і цей процес описується поняттям функція;

б) Між множиною мобільних телефонів М і множиною користувачів мобільного зв’язку Nвстановлюємо правило користування, то отримаємо процес обміну даними між користувачами, який описується поняттям функція.

В) Між множиною товарів М і множиною вартостей(різних затрат на виготовлення в грошовому еквіваленті) Nвстановлюємо правило оцінювання собівартості товарів, то отримаємо процес ціноутворення товарів, який описується поняттям функція.

Інтуїтивне означення функції.

Інтуїтивно, функція ‒ це певне «правило», або «перетворення», яке зіставляє унікальне вихідне значення кожному вхідному значенню.

Приклад 2. В кожної особи є улюблений колір (жовто-блакитний, помаранчевий, біло-синій тощо). Улюблений колір є «функцією особи», тобто, наприклад, у Віктора улюбленим є помаранчевий, у Людмили ‒ біло-синій. Тобто, вхідними значеннями тут є особи, вихідними ‒ улюблені кольори.

Приклад 3.Час, необхідний камінцю, кинутому з певної висоти, щоби досягнути землі, залежить від цієї висоти, яка тут виступає як вхідне значення, а час, який камінець знаходиться в польоті ‒ в якості вихідного значення.

«Правило», яке визначає функцію, може бути задане формулою, певним співвідношенням або просто таблицею, в якій перелічені всі можливі комбінації вхідних та вихідних значень. Найважливішою ознакою звичайної функції є те, що вона завжди продукує однаковий результат на подане вхідне значення.

Означення.Вхідне значення х називають аргументом функції, вихідне(яке обчислене за формулою або таблицею) у = f(х) ‒ значенням функції.

Зазвичай, в функціях аргументами та значеннями виступають числа(кількісні характеристики), і функціональна залежність задається формулою. Значення функції отримується безпосередньою підстановкою аргумента в формулу.

Приклад.Функції може бути квадратична залежність: f(x) = x², яка зіставляє кожному аргументу його квадрат.

В більш загальному випадку, функція може бути залежною від декількох аргументів.

Втім, в сучасній математиці розглядаються функції, які не можуть бути явно задані формулами, тому сучасна інтерпретація поняття «функція» визначає її як певне відображення, відповідність між деякими множинами A (множиною або областю визнчення) та B (яку іноді називають областю значення, хоча це й не зовсім правильно), отже таке відображення, яке зіставляє кожному елементу з множини A єдиний елемент з множини B. В теорії множин такі функції зручно визначати за допомогою відповідності між множинами. В такій узагальненій інтерпретації функція стає фундаментальним поняттям практично в кожній галузі математичних знань.

Рівність двох функцій.

Означення. Множина X, множина вхідних значень, також називається областю визначення f і позначають D(f), а множину Y, множина усіх можливих результатів, називається областю значень і позначають Е(f), але більш коректно називати областю значень множину усіх тих елементів Y, для яких існують відповідні елементи з X. Тому в загальному випадку область значень є лише підмножиною Y.

Слід взяти до уваги те, що позначення

f: D(f)E(f)

вказує на відображення області визначення функції D(f)на область значенняE(f).

Наприклад: Запис

f: R —>R

означає, що функція визначена на множині дійсних чисел і приймає свої значення на множині дійсних чисел.

Означення. Тотожною функцією (тотожним відображенням) називають функцію, область значень і визначення якої збігаються.

Приклад.a) z : Z®Z; b) n : N®N; b) q : Q®Q; b) f : R®R.

Означення. Нехай маємо дві функції

f₁ : Х₁ ‒®Y₁.

f₂ : Х₂ ‒®Y₂.

Ці дві функції рівні тоді і тільки тоді, коли виконуються одночасно дві умови:

1) Х₁ = Х₂;

2) для будь-яких елементів х із Х₁маємо рівність f₁(х) = f₂(х).

Позначення двох рівних функцій: f₁ = f₂.

Звуження і продовження двох функцій.

Означення. Нехай маємо функцію

f : Х ‒®Y.

і А деяка підмножина із Х. Нову функцію

f_зв : А ‒®Y

для будь-яких елементів х із Х_омаємо рівність f_зв(х) = f(х).

Функція f_зв‒ називається звуженням функції f на А.

Функція f ‒ називається продовженням функції f_звна Х.

Множина усіх функцій.

Множина всіх функцій f : X → Y позначається символом Y^X. При цьому потужність множини(кількість елементів) |Y^X| = |Y|^|X|.

Образ і прообраз функції.

Означення. Нехай маємо функцію

f : Х ‒®Y.

Образом елемента x∈X для відображення (функції) f є результат відображення (функції) f(x).

Образ підмножини A⊂X для f є така підмножина Y, яка відповідає умові:

f(A) = {f(x) | x ∈ A}

Слід зазначити, що область значень f збігається з образом області визначення f(X).

Прообраз відображення (або обернений образ) множини B ⊂ Y для f є підмножиною множини X, визначеною як

f ⁻¹(B) = {x ∈ X | f(x) ∈B}

Графік функції.

Графік функції f є множина всіх впорядкованих пар (x, f(x)), для всіх x з області визначення X.

Класифікація відображень.

Означення. Cюр'єкція‒це відображення однієї множини на другу. Іншими словами, відображення f : X ‒ Y множини X у множину Y називається cюр'єкція, якщо будь-який елемент у з У має прообраз.

Cюр'єкція інакше називається сюр'єктивним відображенням, а також накладанням. Термін сюр'єкціячастіше вживається в науковій літературі й майже не вживається в навчальній літературі для середньої школи, тут використовують слово накладання.

Сюр'єктивна функція ‒ функція f:X→Y, область значень якої збігається з множиною Y, тобто, для кожного y із Y існує x із X такий, що f(x) = y.

Приклад. а) Лінійна функція, як відповідність між двома множинами дійсних чисел, яка задається формулою

у = f(x) = х + 1,

‒ це сюрʼєктивне відображення.

б) Цілозначна квадратична функція, як відповідність між двома множинами цілих чисел, яка задається формулою

у = f(x) = х² + x + 1,

‒ це несюрʼєктивне відображення, бо при будь-яких цілих значеннях аргументу отримуємо тільки непарні значення, не відбулося накладання на всю цілу множину значень.

Означення. Інʼєкція‒це взаємно-однозначне відображення однієї множини в другу. Іншими словами, відображення f : X ‒ Y множини X у множину Y називається ін'єкція, якщо:

1) будь-який елемент x₁iз X має образ f(x₁).

2) будь-який елемент x₂iз X має образ f(x₂).

3) із того що два елементи x₁, x₂нерівні(різні), слідує, що нерівні і їх значення f(x₁) та f(x₂).

Ін'єктивна функція ‒ функція, в якій різним значенням аргумента відповідають різні результати, тобто, для двох елементів x, y з Y виконується: f(x) = f(y) тоді й тільки тоді, якщо x = y.

Приклад. а) Лінійна функція, як відповідність між двома множинами дійсних чисел, яка задається формулою

у = f(x) = - х-1,

‒ це інʼєктивне відображення.

б) Квадратична функція, як відповідність між двома множинами дійсних чисел, яка задається формулою

у = f(x) = х²,

‒ це неінʼєктивне відображення, бо при будь-яких протилежних цілих значеннях аргументу отримуємо тільки рівні значення функції.

Означення. Бієкція‒ це відображення однієї множини в другу, яке задовольняє одночасно двом умовам:

1) відображення f : X ‒ Yє ін'єкція;

2) відображення f : X ‒ Yє сюр'єкція.

Бієктивна функція ‒ це функція, яка є одночасно сюр'єктивною та ін'єктивною, тобто встановлює взаємно однозначну відповідність між елементами множин X та Y.

У цьому випадку бієктивного відображення говорять, що функція здійснює взаємно однозначну відповідність між двома множинами: X та Y, тобто, дві множини мають однакову кількість елементів(або потужність множин однакова).

Приклад.Лінійна функція, як відповідність між двома множинами дійсних чисел, яка задається формулою у = kx + b, ‒ це бієктивне відображення, що характеризує усі можливі рівномірні процеси в природі.

Приклад. Кубічна функціїу = kx³. Ця функція є сюр'єктивною, і є ін'єктивною. Але інша кубічна функція у = kx³ ‒ х²є сюр'єктивною, і не є ін'єктивною.

Табличний спосіб побудови функції

Означення. Таблиці значень функції ‒ це таблиці, що містять числові значення якої-небудь функції, обчислені для відповідних значень її аргументу. Найпростішим прикладом таблично заданої функції є всім відома з початкової школи таблиця множення Піфагора. У середній школі широко застосовують чотиризначні таблиці. В. М. Брадіса.

Таблиці значень функції допомагають при різних розрахунках у математиці, фізиці, хімії, астрономії, техніці та інших галузях знань і практичної діяльності людини. Раніше, коли не було калькуляторів у складанні таблиць в усі часи брали участь відомі математики, такі, як Л. Ейлер, А. Лежандр, К. Гаусс, Ю. А. Митропольський. Велику роботу щодо складання електронних програм для утворенняматематичних таблиць для нових і класичних спеціальних функційпроводять в науково-дослідних інститутах математики, фізики, кібернетики НАН України і зараз.

Термін табулювання функції означає складання й конструювання різноманітних математичних таблиць для знаходження значень складених але обмежених функцій на деякій множині.

Введемо означення обмеженої і неперервної функції.

Означення. Відкрита область на числовій множині - це зв'язна множина точок цієї числової осі або декартової площини, яка цілком складається з внутрішніх точок і будь-які дві точки області можна сполучити ламаною, яка цілком складається з точок області.

Означення.Область замкнена (або закрита область) на числовій осі — це відкрита область, яка доповнена всіма її межовими точками. Замкнена область є замкненою множиною.

Означення.Обмежена множина дійсних чисел - це множина {х} на числовій осі, для якої існує число В, таке, що для будь-якого елемента х з цієї множини |х| < В.

Означення.Обмежена функція у = f(х) на даній множині Е - це функція, для якої множина значень, яких вона набуває, коли аргумент перебігає Е, є обмеженою множиною.Аналогічно функція називається обмеженою зверху (знизу), якщо множина її значень є обмеженою зверху (знизу) множиною.

Приклад. Будь-яка лінійна функція y = kx + bобмежена на проміжку замкненій множині Е, тобто, на числовому проміжку [a; b].

Означення. Функція, що відображає множину W₁на множину W₂ називається неперервною, якщо прообразом будь-якої відкритої множини в W₂ є відкрита множина в W₁. Можна впевнитися, що це означенння збігається з означенням неперевності функції в термінах відкритих інтервалів на числових множинах. Інтуїтивно це можна представити як відсутність «дірок», «різких коливань» функції.

Приклад.Усі лінійні функції у = kx + bвходять до так званого необмеженого простору неперервних функції.

Означення.Функція y = ff(х) називається обчислюваною, якщо існує алгоритм, що переробляє в f(х) усякий х, для якого { визначена, і не застосовується до жодного х, для якого fне визначена. Значеннями аргументу і значеннями обчислюваної функції можуть бути лише так звані конструктивні об'єкти.

Абстрактний спосіб побудови функції.

Приклад.Розглянемо більш абстрактний спосіб побудови функції. Множина Х складається з трьох елементів довільної природи, що позначені символами:

Х = {х₁; х₂; х₃}.

Множина Yскладається з двох елементів довільної природи, що позначені символами:

Y = { y₁; y₂}.

Cкільки існує:

а) сюрʼєктивних відображень множини Х на множину Y;

б) інʼєктивних відображень Х в множину Y;

в) бієктивних відображень множини Х на множину Y;

г) сюрʼєктивних відображень Yна Х;

д) інʼєктивних відображень Х в множину Y?

е) бієктивних відображень Х в множину Y?

Розвʼязання. А) Складемо усі сюрʼєктивні відображення із множини Х на Y . Нехай є три «місця» із множини Х.

Перше місце х₁займає або y₁ або y₂.

Друге місце х₂займає або y₁ або y₂.

Третє місце х₃займає або y₁ або y₂.

Таким чином на кожне з цих трьох місць із Х є два претенденти із Y. Тому 2*2*2 = 8 відображень. Перелічимо їх научно за допомогою таблиць:

Випадок 1. (х₁; у₁), (х₂; у₁), (х₃; у₁).

у₂	-	-	-
у₁	(х₁; у₁)	(х₂; у₁)	(х₃; у₁)
*Функція 1*	х₁	х₂	х₃

Випадок 2. (х₁; у₁), (х₂; у₁), (х₃; у₂).

у₂	-	-	*(х₃; у₂)*
у₁	(х₁; у₁)	(х₂; у₁)	-
*Функція 2*	х₁	х₂	х₃

Випадок 3. (х₁; у₁), (х₂; у₂), (х₃; у₁).

у₂	-	*(х₂; у₂)*	-
у₁	(х₁; у₁)	-	(х₃; у₁)
*Функція 3*	х₁	х₂	х₃

Випадок 4. (х₁; у₂), (х₂; у₁), (х₃; у₁).

у₂	(х₁; у₂)	-	-
у₁	-	(х₂; у₁)	(х₃; у₁)
*Функція 4*	х₁	х₂	х₃

Випадок 5. (х₁; у₂), (х₂; у₂), (х₃; у₁).

у₂	(х₁; у₂)	(х₂; у₂)	-
у₁	-	-	(х₃; у₁)
*Функція 5*	х₁	х₂	х₃

Випадок 6. (х₁; у₂), (х₂; у₁), (х₃; у₂).

у₂	(х₁; у₂)		(х₃; у₂)
у₁	-	(х₂; у₁)
*Функція 6*	х₁	х₂	х₃

Випадок 7. (х₁; у₁), (х₂; у₂), (х₃; у₂).

у₂		(х₂; у₂),	(х₃; у₂)
у₁	(х₁; у₁),
*Функція 7*	х₁	х₂	х₃

Випадок 8. (х₁; у₂), (х₂; у₂), (х₃; у₂).

у₂	(х₁; у₂)	(х₂; у₂),	(х₃; у₂)
у₁	-
*Функція 8*	х₁	х₂	х₃

Б) Складемо усі можливі інʼєктивні відображення із множина Х в Y.

Отримаємо 6 відображень. Перелічимо їх научно:

Випадок 1. (х₁; у₁), (х₂; у₂).

у₂	-	(х₂; у₂)	-
у₁	(х₁; у₁)
*Функція 1*	х₁	х₂	х₃

Випадок 2. (х₁; у₂), (х₂; у₁).

у₂	(х₁; у₂)	-
у₁		(х₂; у₁)	-
*Функція 2*	х₁	х₂	х₃

Випадок 3. (х₂; у₂), (х₃; у₁).

у₂	-	*(х₂; у₂)*	-
у₁		-	(х₃; у₁)
*Функція 3*	х₁	х₂	х₃

Випадок 4. (х₂; у₁), (х₃; у₂).

у₂		-	(х₃; у₂)
у₁	-	(х₂; у₁)
*Функція 4*	х₁	х₂	х₃

Випадок 5. (х₁; у₂), (х₃; у₁).

у₂	(х₁; у₂)
у₁	-		(х₃; у₁)
*Функція 5*	х₁	х₂	х₃

Випадок 6. (х₁; у₁), (х₃; у₂).

у₂			(х₃; у₂)
у₁	(х₁; у₁),
*Функція 6*	х₁	х₂	х₃

В) Складемо усі можливі бієктивні відображення із множина Х в Y.

Отримаємо 0 відображень. Бо при бієктивному відображенні треба, щоб множини були рівно потужними, а у нас є різниця між кількістю елементів двох множин.

Г) Отримаємо 0 відображень.

Д) Отримаємо 6 відображень.

Випадок 1. (y₁;x₁), (y₂; x₂).

х₃
х₂		(y₂; *x₂)*
х₁	(y₁;x₁)
*Функція 1*	у₁	у₂

Випадок 2. (y₁;x₂), (y₂; x₁).

х₃
х₂	(y₁;*x₂)*
х₁		(y₂; *x₁)*
*Функція* 2	у₁	у₂

Випадок 3. (y₁;x₂), (y₂; x₃).

х₃		(y₂; *x₃)*
х₂	(y₁;*x₂)*
х₁
*Функція* 3	у₁	у₂

Випадок 4. (y₁;x₃), (y₂; x₂).

х₃	(y₁;*x₃)*
х₂		(y₂; *x₂)*
х₁
*Функція* 4	у₁	у₂

Випадок 5. (y₁;x₃), (y₂; x₁).

х₃	(y₁;*x₃)*
х₂
х₁		(y₂; *x₁)*
*Функція* 5	у₁	у₂

Випадок 6. (y₁;x₁), (y₂; x₃).

х₃		(y₂; *x₃)*
х₂
х₁	(y₁;x₁)
*Функція* 6	у₁	у₂

Е) Отримаємо 0 відображень.

Модуль 2

ЛІНІЙНІ ДІОФАНТОВІРІВНЯННЯЗДВОМАНЕВІДОМИМИ.

Означення.Рівняння виду

ах +bу = с

називається лінійне діофантове рівняння з двома невідомими, якщо а, b, с – цілі числа, а ≠ 0, b≠ 0 , с≠ 0.

Приклад 1:

Приклади лінійних діофантових рівнянь з двома невідомими:

1) 2х +3у = -5, коефіцієнти рівняння а =2, b =3, с =-5.

2)- х - 3у = 10, коефіцієнти рівняння а =-1, b = -3, с =10.

3)32х +17у = 3, коефіцієнти рівняння а =32, b =17, с =3.

4) - це недіофантове рівняння(бо коефіцієнти а таb являються нецілими числами), проте це лінійне рівняння відносно двох невідомих х та у.

Зауваження. До виду лінійних діофантових рівнянь з двома невідомими можна звести рівняння виду pх +qу = g, якщо p, q, g – звичайні дроби, p ≠ 0, q≠ 0 , g≠ 0.

Для цього досить: записати всі коефіцієнти звичаними дробами і помножити ліву та праву частину рівняння на спільний знаменник, тобто помножити на найменше спільне кратне коефіцієнтів, НСК(p, q, g). Покажемо це на прикладах.

Приклад 2:

1) , коефіцієнти рівняння а =;b =; с =; якщо це рівняння помножити на спільний знаменник 30, і скоротити коефіцієнти, тоді отримаємо лінійне діофантове рівняння з двома невідомими: 15х +10у = 18.

2) - х - у = , коефіцієнти рівняння а =;b =; с =; якщо це рівняння помножити на спільний знаменник 12, і скоротити коефіцієнти, тоді отримаємо лінійне діофантове рівняння з двома невідомими:

-3х - 2у = 1.

3)1,34х –4,17у = 7,3 коефіцієнти рівняння а =1,34 = ;b =-4,17=; с =7,3 = ; якщо це рівняння помножити на на спільний знаменник 100, тоді отримаємо лінійне діофантове рівняння з двома невідомими:

134х - 417у = 730.

Твердження 1. Лінійне діофантове рівняння з двома невідомими

ах +bу = с

можна розв’язати в цілих числах тоді і тільки тоді, коли число с ділиться націло на НСД(а, b), тобто с: НСД(а, b).

Припустимо, що для лінійного діофантового рівняння з двома невідомимиах +bу = с

виконується умова: Якщо поділити обидві частини рівняння на число с, тоді отримаємо рівняння виду: nх +mу = 1. Отже маємо більш краще твердження:

Твердження 2. Лінійне діофантове рівняння з двома невідомими

ах +bу = с

можна розв’язати в цілих числах тоді і тільки тоді, коли НСД(а, b) =1, НСД(а, b,с) =1, тобто, цілі числа а та b – взаємно прості, ( не мають спільного дільника, крім 1).

Приклад 3:

Приклади лінійних діофантових рівнянь з двома невідомими:

1) 2х +3у = -5, коефіцієнти рівняння а =2, b =3, с =-5, НСД(а, b) = НСД(2, 3)= 1, тому це рівняння має розв’язки в цілих числах.

2)- 6х - 3у = 10, коефіцієнти рівняння а =-6, b = -3, с =10,

НСД(а, b) = НСД(-6, -3) = 3, тому це рівняння не має розв’язків в цілих числах.

3)34х +17у = 51, коефіцієнти рівняння а =34, b =17, с =51, поділимо обидві частини даного рівняння на 17, отримаємо рівняння 2х +1у = 3. НСД(2, 1) = 1, при цьому 3: НСД(2, 1), тому це рівняння має розв’язків в цілих числах.

Для розв’язування лінійного діофантового рівняння з двома невідомими

ах +bу = с

треба:

1) Перевірити умову розв’язності даного рівняння в цілих числах. Для цього спочатку ділять обидві частини рівняння на число m = НСД(а, b,с) , а потім перевіряють умову: НСД(а:m, b:m) = НСД(p;s)= 1, де а:m= p; b:m= s; якщо ця умова не виконується, тоді роблять висновок дане рівняння не має розв’язку в цілих числах.

2) Якщо рівняння має розв’язок в цілих числах, тоді треба відшукати хоча б одну пару (х_о, у_о) цілих чисел, яка є розв’язком даного рівняння;(це можна зробити: методом підбору, методом Евкліда, графічним способом та іншими способами.)

3) записують всю множину розв’язків лінійного діофантового рівняння з двома невідомими, як множину цілочисельних пар у вигляді

(х_о - рk, у_о+ sk), де k – довільне ціле число.

Приклад 4:

Розв’язати рівняння 3x + 5y = 7 в цілих числах.

Розв’язання:

1) Перевіримо умову розв’язності: коефіцієнти рівняння а =3, b =5, с =7, НСД(3, 5) = 1, отже маємо ціле число, якщо 7: НСД(3, 5), тому дане рівняння має множину розв’язків в цілих числах.

2) Знайдемо спочатку який-небудь конкретний розв’язок: Тут використаємо таку ідею, до речі, часто допомагає і при розв’язанні інших завдань.

Спочатку знайдемо одну пару цілих чисел (m; n), яка є рівняння розв’язком іншого, легшого рівняння: 3x + 5y = 1, тоді матимемо правильну рівність: 3m + 5n = 1, а для того, щоб знайти один розв’язок (х_о, у_о) для рівняння 3x + 5y = 7, треба буде помножити правильну рівність 3m + 5n = 1 на 7. Продемонструємо цю ідею на практиці. Оскільки легко встановити, що 3m + 5n = 3∙2 + 5∙(-1) = 1, то 3x + 5y = 3∙(2∙7) + 5∙(-7∙1) = 1∙7 і, отже, x₀ = 14, y₀= 7 – це розв’язок даного рівняння (одне з багатьох, не більш!).

3) Отже, маємо дві рівності:

3х + 5у = 7,

3х_о + 5у_о = 7.

Віднімемо одне рівняння з іншого, позначимо x- x₀ і у -y₀ через p і g, і отримаємо 3a + 5b = 0. Звідси ми бачимо, що b ділиться на 3, а а – на 5. Покладемо p = 5k, тоді g = 3k – тут очевидно, що k - може бути будь-яким цілим числом. Отже, ми отримуємо набір розв’язків:

x - х_о = 5k; х = 14+ 5k, де k – ціле число.

y - y_о = -3k; у = - 7-3, де k – ціле число.

Інших розв’язків, звичайно, немає.

Відповідь: (14 +5k; -7 -3k), де k – довільне ціле число.

Приклад 5:

Розв’язати рівняння 3x -12y = 7 в цілих числах.

Розв’язання:

1)Це рівняння не має цілих розв’язків. Ліва частина ділиться на 3, бо НСД(3;12) = 3, тоді як права частина не ділиться на 3. Звертаємо вашу увагу, що не виконується умова розв’язності: 7 не ділиться на ціло на 3.

Відповідь: розв’язку в цілих числах рівняння не має.

Приклад 6:

Розв’язати рівняння 1990x - 173y = 11.

Розв’язання:

1)Числа, що беруть участь у рівнянні, такі великі, що підбором тут конкретного розв’язку не знайти. Проте нам допоможе те, що числа 1990 і 173 взаємно прості (перевірте це). Це означає, що дане рівняння має розв’язки в цілих числах.

2)Отже, НСД(1990;173) = 1, а це значить, що одиницю можна подати у вигляді суми 1990m -173n = 1, де m і n – деякі цілі числа.

Продемонструємо використання алгоритму Евкліда. Більше число 1990 поділимо на 173 стовпчиком, отримаємо неповну частку 11 і остачу 87. Згідно цього маємо рівність

1990 = 173 ∙11 + 87 ( або 87 = 1990 -173∙11). (3)

Тепер число 173 поділимо на 87 стовпчиком, отримаємо неповну частку 1, а остачу 86. Згідно цього маємо рівність

173 = 87∙1 + 86 ( або 86 = 173 - 87∙1). (2)

Далі, число 87 поділимо на 86 стовпчиком, отримаємо неповну частку 1 а остачу 1. Згідно цього маємо рівність

87 = 86∙1 +1 ( або 1 = 87 - 86∙1). (1)

Враховуючи рівності (1), (2), (3), які записані в дужках число 1 можна записати отак:

1= 87 – 86 = 87 – (173 - 87∙1) = 87∙2 - 173∙1 = (1990 - 173∙11)∙2 - 173∙1 = 1990∙2 - 173∙22 - 173∙1 = 1990∙2 - 173∙23 = 1.

Отже, якщо не вдається легко підібрати конкретний розв’язок, як в даному випадку, то, використовуючи алгоритм Евкліда, можна завжди отримати потрібну пару: m = 2, n = 23. Отже, за допомогою такої могутньої зброї, як алгоритм Евкліда, ми отримуємо конкретне вирішення допоміжного рівняння 1990m - 173n = 1: пару (2, 23).

3) Якщо помножити числа на 11, то отримаємо x₀= 22, y₀ = 253 – цеконкретний розв’язок рівняння 1990x - 173y = 11. Далі отримуємо, згідно формул множину цілих розв’язків:

x = х_о + 173k = 22 + 173k, де k – ціле число.

y = y_о + 1990k = 253 + 1990k, де k – ціле число.

Відповідь: (22+173k; 253+1990k), де k – будь-яке ціле число.

1. Завдання для самостійного опрацювання:

Знайдіть всі цілі розв’язки рівняння:

1) 21x + 48y = 6;

2) 2x + 8y = 5;

3) 17x + 47y = 67.

Модуль 3

РІВНЯННЯ ПРЯМОЇ НА ПЛОЩИНІ

Пряма лінія в прямокутній системі координат може бути записана у різних формах одного і того ж рівняння першого степеня. Переглянемо усі найпопулярніші форми запису рівняння прямої.

Рівняння прямої

в прямокутній системі координат

з кутовим коефіцієнтом

у = kx + b,

де кутовий коефіцієнт k = tgj, кут j - це кут між прямою і додатним напрямом осі Ох, при цьому k, x, b – довільні числа. Значення х – називають аргументом, значення у – називають функцією.

В математиці, зокрема в теорії функцій це рівняння задає так звану лінійну функцію, графіком якої в прямокутній системі координат є пряма лінія. В арифметиці чисел цим рівнянням задають послідовність чисел, яку називають арифметична прогресія, зрозуміло, що k, b – довільні числа, х – натуральні числа(номер члена прогресії). У фізиці такими рівняннями задають або описують рівномірні процеси, наприклад, рівномірний рух транспорту по прямій. А в теорії цілих чисел такими рівняннями задають послідовність чисел, які при ділення на ціле kмають остачу b, (зрозуміло, що k – дільник числа у, b – остача, х – неповна частка).

Арифметична прогресія

1. Числова послідовність, кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, складеному з одним і тим же числом, називається арифметичною прогресією.

Приклад: 1) 3,7;.....; 2) -5, -1,.......

2. Різниця між будь-якими двома сусідніми членами арифметичної прогресії дорівнює одному і тому ж числу.

Приклад: 3, 7, 11, 15, 19, ............
7-3=4; 11-7=4; 15-11=4; 19-15=4; .......

Це число називається різницею арифметичної прогресії та позначається буквою d.

Приклад: 3,7,11,15,19,......; d=4

Приклади: 1) якщо k = 0, b = 0, то

у = 0

- це рівняння вісі абсцис Ох;

2) якщо k = 0, b ≠ 0, то

у = b

- це рівняння прямих, що паралельні до осі абсцис і проходять через точку (0; b);

3) якщо k = 1, b = 0, то

у = х

- це рівняння прямої, що є бісектрисою першої та третьої координатних чвертей);

4) якщо k = -1, b = 0, то

у = - х

- це рівняння прямої, що є бісектрисою другої та чевертої координатних чвертей);

5) якщо k = 2, b = 0, х = n – цілі числа, то

у = 2n

- це рівняння парних чисел;

6) якщо k = 2, b = -1, х = n – цілі числа, то

у = 2n-1

- це рівняння непарних чисел;

7) якщо k = 6, b = -1, х = n – цілі числа, то

у = 6n-1

- це рівняння цілих чисел, які при діленні на 6 дають остачу 5;

8) якщо k = 6, b = +1, х = n – цілі числа, то

у = 6n+1

- це рівняння цілих(непарних) чисел, які при діленні на 6 дають остачу 1;

9) якщо k = 15, b = +1, х = n – цілі числа, то

у = 15n+1

- це рівняння цілих(парних і непарних) чисел, які при діленні на 3 і на 5 дають остачу 1;

Завдання для самостійного дослідження.

1. Які умови треба накласти на k і bу рівнянні прямої у = kx + b, щоб цілі значення у були:

· кратними 4;

· тільки парними, що діляться на 7;

· тільки непарними, що діляться на 9?

2. Периметр прямокутника зі сторонами х дм і 8 дм дорівнює Р дм. Запишіть формулу лінійної залежності Р від х.

3. Знайдіть значення аргументу, при якому:

a. функція у = kх набуває значення у ={ -8; 0; 12}

b. функція у = 4х + b набуває значення у = {-1; 3; 17}.

4. Пряма у = kх + b проходить через точку А(-2; 22)
і паралельна прямій у = 2 - х. Знайдіть значення kі b.

5. На початку нагрівання вода мала температуру 20 . При нагріванні температура води підвищувалася щохвилини на 5 .

· Задайте формулою залежність температури yводи від часу x і її нагрівання.

· Знайдіть значення y, що відповідає значенню аргументу 7; 9; 10.

· Знайдіть значення x, яким відповідає 45; 60; 70.

· При якому значенні xі вода закипить?

6. Побудувати рівняння прямих в прямокутній системі координат:

а) у = -2х + 3;б) у = 0,5х – 4;в) у = +2х – 3.

Знайти усі координати точок перетину трьох прямих. Який вид трикутника задають ці прямі?

6. Побудувати графіки функцій

a) у = - х – 3; б) у = + х + 4; в) у = – х + 4; г) у = +х - 3.

Знайти усі координати точок перетину чотирьох прямих. Який вид чотирикутника задають ці прямі?

Які точки А(-5;4), В(0; -4), С(0; -1) лежать в середині чотирикутника?

7. Рівняння прямих задано такими формулами:

a. у = -3 – x;

b. у = - 5 + 2х;

c. у = -3х – 4;

d. у = –0,5х -2,4;

Заповніть таблицю в зошиті, обчисливши відповідні значення та аргументилінійної функціїу = kх + b.

х	-3		-1		1		3
у		-2		0		2

8. Пряму лінію у =kх + bзадано таблицею. Знайдіть:

1) значення лінійної функції, якщо х = {-4; 0; 1};

2) значення аргументу, при якому значення функції y ={-3; -2; 7};

3) область визначення функції;

4) область значень функції.

х	-3	-2
у	-9	-7

Модуль 4

ВЛАСТИВОСТІ РІВНЯННЯ ПРЯМОЇ

З КУТОВИМ КОЕФІЦІЄНТОМ.

Рівняння прямої

в прямокутній системі координат

з кутовим коефіцієнтом

у = kx + b,

де кутовий коефіцієнт k = tgj, кут j - це кут між прямою і додатним напрямом осі Ох, при цьому k, x, b – довільні числа.

Властивості прямої:

1. Точка (0; b) – це точка перетину прямої з віссю Оу ординат;

2. Точка (-b:k; 0) – це точка перетину прямої з віссю Оx абсцис;

3. Якщо 0<k <1, то кут j - гострий кут від 0 градусів до 45 градусів ,

4. Якщо k=1, тоді кут j= 45 градусів;

5. якщо1<k< + ∞, то кут j - гострий кут від 45 градусів до 90 градусів;

6. Якщо-1 <k<0, то кут j - тупий кут від 90 градусів до 135 градусів ,

7. Якщо k= -1, тоді кут j= 135 градусів;

8. якщо - ∞ <k< -1, то кут j - тупий кут від 135 градусів до 180 градусів;

9. Якщо маємо два рівняння

m₁: у = k₁x + b₁,

m₂: у = k₂x + b₂,

тоді m₁||m₂ (дві паралельні прямі), якщо

k₁ = k₂, b₁≠ b₂.

10. Якщо маємо два рівняння

m₁: у = k₁x + b₁,

m₂: у = k₂x + b₂,

тоді m₁^m₂ (дві перпендикулярні прямі), якщо

k₁k₂,= -1, b₁ і b₂– довільні числа.

11. Якщо маємо два рівняння

m₁: у = k₁x + b₁,

m₂: у = k₂x + b₂,

тоді тангенс кута b між двома прямими m₁і m₂ (дві непаралельні прямі) обчислюється за формулою:

tgj =|(k₁ - k₂):(1+ k₁k₂)|.

12. Умова перпендикулярності двох прямих

1:k₁ = - k₂.

13. Умова перетину двох прямих

k₁ ≠ k₂.

14. Умова накладання двох прямих

k₁ = k₂. b₁ = b₂.

15. Умова перетину двох прямих

k₁ = k₂. b₁ = b₂.

16. Якщо маємо два рівняння

m₁: у = k₁x + b₁,

m₂: у = k₂x + b₂,

тоді кутовий коефіцієнт рівняння бісектриси між двома прямими m₁і m₂ (дві непаралельні прямі) обчислюється за формулою:

k_бісек= tgj =[k₁(1+ k₂²)^0,5 + k₂(1+ k₁²)^0,5]:[(1+ k₁²)^0,5 + (1+ k₂²)^0,5]

17. Якщо маємо два рівняння

m₁: у = k₁x + b₁,

m₂: у = k₂x + b₂,

тоді кутовий коефіцієнт рівняння ординальної прямої, (це пряма, що ділить навпіл усі відрізки між двома прямими m₁і m₂_,при умові, що ці відрізки паралельні осі ординат ) обчислюється за формулою:

k_ордин= tgj = 0,5(k₁+ k₂).

Завдання для самостійного дослідження.

1. Побудуйте графік функції у = - х - 3. Знайдіть за графіком:

1) яке значення у відповідає х= -2; 0; 4;

2) якому значенню х відповідає у= -3; 0; 6;

3) нулі функції;

4) значення аргументу, при яких функція набуває додатних значень;

5) значення аргументу, при яких функція набуває від'ємних значень;

6) зростає чи спадає графік функції?

2. Побудуйте графік функції у = 3х +2.. Знайдіть за графіком:

1) яке значення у відповідає х= -1; х= 0; х= 3;

2) якому значенню х відповідає у= -2; у= 1; у= 4;

3) нулі функції;

4) значення аргументу, при яких функція набуває додатних значень;

5) значення аргументу, при яких функція набуває від'ємних значень;

6) зростає чи спадає графік функції?

3. Побудуйте графік функції у = - 2х +3. Знайдіть за графіком:

1) яке значення у відповідає х= -2; 2; 4;

2) якому значенню х відповідає у= -3; 0; 6;

3) нулі функції;

4) значення аргументу, при яких функція набуває додатних значень;

5) значення аргументу, при яких функція набуває від'ємних значень;

6) зростає чи спадає графік функції?

4. Побудуйте графік функції у = 0,5х – 1. Знайдіть за графіком:

1) яке значення у відповідає х= -1; х= 0; х= 3;

2) якому значенню х відповідає у= -2; у= 1; у= 4;

3) нулі функції;

4) значення аргументу, при яких функція набуває додатних значень;

5) значення аргументу, при яких функція набуває від'ємних значень;

6) зростає чи спадає графік функції?

5. Побудуйте графік функції

у = -2х+3

Знайдіть за графіком:

1) яке значення у відповідає х= -1; х= 0; х= 3;

2) якому значенню х відповідає у= -2; у= 1; у= 4;

3) нулі функції;

4) значення аргументу, при яких функція набуває додатних значень;

5) значення аргументу, при яких функція набуває від'ємних значень;

6) зростає чи спадає графік функції?

6. Побудуйте графік функції

у = 3х-2

Знайдіть за графіком:

1) яке значення у відповідає х= -1; х= 0; х= 3;

2) якому значенню х відповідає у= -2; у= 1; у= 4;

3) нулі функції;

4) значення аргументу, при яких функція набуває додатних значень;

5) значення аргументу, при яких функція набуває від'ємних значень;

6) зростає чи спадає графік функції?

Модуль 5

ФОРМИ ЗАПИСУ РІВНЯННЯ ПРЯМОЇ

Рівняння прямої

що проходить через дану точку М(х_м; у_м)

у – у_м = k(х - х_м),

де k = tgj, кут j - це кут між прямою і додатним напрямом осі Ох.

Рівняння прямої

що проходить через дві дані точки

М(х_M; у_M) і N(х_N; у_N)

(у – у_M):(у_N – у_M) = (х – х_M):(х_N– х_M),

у = (х - х_м)(у_N– у_м):(х_N - х_м) +у_м,

Умова належності трьох точок:

А(х_а; у_а), В(х_b; у_b), C(х_c; у_c)

одній прямій

х_ау_b + х_bу_c + х_cу_a- х_cу_b– х_aу_c– х_bу_a= 0.

Відстань між двома точками М(х_M; у_M) і N(х_N; у_N)

обчислюється за формулою:

МN =[(х_N - х_M)²+(у_N - у_M)²]^0,5.

Приклад.Довести, що трикутник АВС рівнобедрений, прямокутний, якщо А(1;0), В(1;3), С(4;3).

Розв’язання

Знайти довжини сторін

АВ =[(1- 1)²+(3 - 0)²]^0,5 = 3.

ВС =[(4- 1)²+(3 - 3)²]^0,5 = 3.

АС =[(4- 1)²+(3- 0)²]^0,5 = 3(2^0,5).

Оскільки АВ=ВС, то трикутник АВС – рівнобедрений, первіримо теорему Піфагора:

АВ² + ВС² = АС², 3² + 3² = 3²(2^0,5)²,

18=18, виконується теорема Піфагора, а значить трикутник АСВ – прямокутний.

Отже, трикутник АСВ – рівнобедрений і прямокутний.

2.Дано вершини чотирикутника А(6; -1), В(5; 1), С(1; 2) і D(2;-4). Довести, що АС+ВD.

Рівняння прямої у відрізках(канонічна форма)

x:а +y:b = 1,

де а і bдовжини відрізків , як відтинає пряма на осях координат, починаючи від точки (0; 0).

Нормальне рівняння прямої

xсоsа +ysinа – p = 0,

де р довжина перпендикуляра від точки (0; 0) до даної прямої , а – це кут між перпендикуляром р і додатним напрямом осі Ох.

Загальне рівняння прямої

аx+by+c=0

де а²+ b²≠ 0

n(a; b) - нормальний вектор(перпендикулярний до прямої).

Завдання для самостійного дослідження.

-7. Дано три точки А(0; 1), В(1; 0), С(1; 1). Який вид трикутника АВС? Знайдіть відстань від початку координат до центра кола, описаного навколо цього трикутника. Запишіть рівняння прямих, що містять сторони даного трикутника.

-6. Який вид чотирикутника ABCD, якщо А( -8; 8), В( -2; 6), С( 0; -10), D(-6;-8)? . Запишіть рівняння прямих, що містять сторони даного чотирикутника.

-5. Який вид чотирикутника ABCD, якщо А( 4; -4), В( 1; -3), С(0; 5), D(-1;4)? Запишіть рівняння прямих, що містять сторони даного чотирикутника.

-4. Знайти рівняння прямої, що є серединним перпендикуляром в прямокутній системі координат хОу для відрізка SP, де S(-5; 1), P(-3; 5).

-3. Знайти рівняння прямої, що є серединним перпендикуляром в прямокутній системі координат хОу для відрізка АВ, де А(2; 5), В(6; 3).

-2. Знайти рівняння прямої, що проходить через точку К(-1,5; 0,5) прямокутної системи хОу і перпендикулярна до прямої, що задана рівнянням -5х + 7у = -11.

-1. Знайти рівняння прямої, що є серединним перпендикуляром в прямокутній системі координат хОу для відрізка АВ, де А(-5; -2), В(2; 3).

0. Знайти найкоротшу відстань від початку координат О(0; 0) прямокутної системи хОу до точок, які належать прямій, що задана рівнянням х + у = 8.

1. Знайти координати точки перетину графіка у = - 0,75х – 12 з віссю абсцис.

А) ( - 16; 0); Б) ( ; 0); В) ( - 8; 0); Г) ( - 12; 0); д) інша відповідь.

2. Знайти значення кутового коефіцієнта k для функції у = kx– 2, якщо її графік проходить через точку В ( -3; 4).

А) 0,5; Б) - 0,5; В) – 2; Г) інша відповідь.

3. Знайти значення кутового коефіцієнта k для функції у = kx + 3, якщо її графік проходить через точку А( - 2; 4).

А) – 0,25; Б) – 2,5; В) – 1,5; Г) інша відповідь.

4. Дана функція у = . Графік цієї функції перетинає вісь абсцис в точці ( m; 0) і вісь ординат в точці ( 0; n). Знайти m + n.

А) 6; Б) 4; В) -2; Г) інша відповідь.

5. Дана функція у = - 1,5х – 2. Гафік цієї функції перетинає вісь абсцис в точці ( a; 0). А вісь ординат в точці ( 0;b). Знайти a + b.

А) -2; Б); В) ; Г) -2,5; д) інша відповідь.

6. Відомо, що графіком функції є пряма , яка проходить через початок координат. Задайте цю функцію формулою, якщо відомо, що її графік проходить ще й через точку А( - 1; 4).

А) у = 4х; Б) у = -4х; В) у = ; Г) у = ; д) інша відповідь.

7. Відомо, що графіком функції є пряма, яка проходить через початок координат, паралельно до прямої у = 2х + 5. Задайте формулою цю функцію.

А) у = х + 5 ; Б) у = 5х; В) у = -2х; Г) у = 2х; д) інша відповідь.

8. Задайте формулою функцію, графік якої – пряма, що а)паралельна ; б) перпендикулярна до бісектриси другого і четвертого координатних кутів і проходить через точку С( 0; - 4).

А) у = -4х + 1; Б) у = - х + 4; В) у = -х – 4; Г) у = - 4х; д) інша відповідь.

9. Задайте формулою функцію, графік якої – пряма, що а)паралельна; б) перпендикулярна до прямої у = - 2,5х +3 і проходить через точку М( 0; - 4).

А) у = -4х + 3; Б) у = -2,5х – 4; В) у = - 2,5х + 4; Г) у = 4х – 3; д) інша відповідь.

10. Задайте формулою лінійну функцію, якщо відомо, що пряма а)паралельна; б) перпендикулярна до прямої у = - 0,5х +2 і проходить через точку А( 2; - 4).

А) у = - 0,5х - 3; Б) у = - 0,5х – 4; В) у = - 0,5х - 2; Г) у = - 0,5х – 5; д) інша відповідь.

Модуль 6

Властивості загального рівняння прямої

Деякі випадки рівняння прямої:

1) якщо с = 0, то аx+by=0- це рівняння прямої, що проходить через початок координат.

2) якщо b = 0(a ≠ 0), то x=-c:a- це рівняння прямої, що паралельна осі ординат Оу і проходить через точку (-c:a; 0) .

3) якщо b = 0, a ≠ 0, с = 0, то x=0- це рівняння прямої, що являється віссю ординат Oy.

4) якщо а = 0, b ≠ 0, с = 0, то y=0- це рівняння прямої, що являється віссю абсцис Ох.

5) якщо b≠ 0(a = 0), то x=-c:b- це рівняння прямої, що паралельна осі абсцис Ох і проходить через точку (0;-c:b) .

Відстань від точки М(х_м; у_м) до прямої

xсоsа +ysinа – p = 0

d = |х_м соsа + у_м sinа – p|

Відстань від точки М(х_м; у_м) до прямої

аx+by+c=0

d = |aх_м + bу_м + c|:(а²+ b²)⁰^,5.

Кут між двома прямими

а₁x+b₁y+c₁=0, а₂x+b₂y+c₂=0

обчислюється за формулами:

tgj =|(а₂b₁+b₂а₁):(а₁a₂+b₁b₂)|;

cosj =|а₁a₂+b₁b₂|:[(а₁²+b₁²)^0,5(а₂²+b₂²)^0,5].

Умова паралельності двох прямих

а₁x+b₁y+c₁=0, а₂x+b₂y+c₂=0

а₁:a₂ = b₁:b₂≠с₁:с₂

Умова накладання двох прямих

а₁x+b₁y+c₁=0, а₂x+b₂y+c₂=0

а₁:a₂ = b₁:b₂=с₁:с₂

Умова перпендикулярності двох прямих

а₁x+b₁y+c₁=0

а₂x+b₂y+c₂=0

а₁a₂+b₁b₂ = 0.

Умова непаралельності або перетину двох прямих

а₁x+b₁y+c₁=0, а₂x+b₂y+c₂=0

а₁:a₂≠ b₁:b₂.

Точка М(х_м; у_м) перетину двох прямих

а₁x+b₁y+c₁=0, а₂x+b₂y+c₂=0

х_м = (b₂c₁-c₂b₁):(а₁b₂–b₁а₂);

у_м = (а₁c₂-a₂c₁):(а₁b₂–b₁а₂).

Завдання для самостійного дослідження.

1. В якій точці перетинаються прямі у + х =7 та 2х + 2у = 10?

А) ( 1; 6) ; Б) (3 ; 2) ; В) прямі співпадають; Г) прямі паралельні.

2. В якій точці поретинаються прямі 2х +2у = 5 і 4х + 2у = 7?

А) (3; 4); Б) прямі паралельні; В) ( 1; 1,5); Г) прямі співпадають.

3. В якій точці перетинаються прямі 1,5х – 4у = 6 і 6х – 16у = 24?

А) ( 4; 0); Б) прямі паралельні; В) прямі співпадають; Г) ( 9; 3,75).

4. В якій точці перетинаються прямі 2х + 2у = - 2 і -10х + 5у = - 0,5.

А) прямі паралельні; Б) (-0,7; -0,3); В) ( -0,3 ; -0,7) ; Г) прямі співпадають.

5. Знайдіть формулу, якою задається функція у = kx + b, якщо графік цієї функції проходить через точку А( - 3; k ) і число bбільше за число k на 6.

А) у = 2х + 8; Б) у = 2х + 4; В) у = х + 8; Г) у = х + 4.

6. Знайдіть формулу, якою задається функція у = kx + b , якщо графік цієї функції проходить через точку С( -2; 2b) і число bбільше числа kна 12.

А) у = 4х – 8; Б) у = - 4х + 8; В) у = - 0, 25х – 4; Г) у = 0,25х + 4.

7. Графіки функцій у = ax + 3 i y = ( 2 – a )x + a перетинаються в точці з абсцисою - 1. Знайдіть ординату точки перетину.

А) ; Б) ; В) ; Г) .

8. Графіки функцій у = ( 4 – а)х + а і у = ах – 2 перетинаються в точці з абсцисою -2. Знайдіть ординату точки перетину.

А) 4,8; Б) 3,5; В) - 4,4; Г) -3,5.

9. Визначити координати точок перетину з осями координат графіка функції у = 2,5х – 5 і обчислити площу утвореного трикутника.

А) 10; Б) 5; В) 2; Г) власна відповідь.

10. Визначити координати точок перетину з осями координат графіка функції у = 7 – 3,5х і обчислити площу утвореного трикутника.

А) 3,5; Б) 14; В) 7; Г) власна відповідь.

23. Розкласти на множники 2²⁴+3¹².

Модуль 7

Рівняння висоти, медіани трикутника

Множина прямих задана формулою:

аx+by+c=0

а) якщо а і b – фіксовані числа(не змінюються), не рівні нулю, а число с – довільні числа(змінюються), тоді маємо пучок паралельних прямих, який визначає направляючий вектор з координатами (-b, а). Вектор з координатами (а; b) – це перпендикулярний вектор до прямої, що задана рівнянням аx+by+c=0;

б) якщо а і с – фіксовані числа і а ≠ 0(не змінюються),

b - довільні числа (змінюються), то маємо пучок прямих, які перетинаються в точці (-с/а; 0), за виключенням осі Ox, тобто, прямої у = 0;

в) Якщо bі с фіксовані числа і b≠ 0(не змінюються), а – довільні числа(змінюються), то маємо пучок прямих, які перетинаються в точці (0; -с/ b), за виключенням осі Оy, тобто, прямої х = 0.

г) якщо паралельні прямі задані рівняннями: аx + by + с₁=0, аx + by + с₂=0, то формула відстані hміж паралельними прямими: h = |с₁ – с₂|:(а² + b²)⁰^,⁵.

д) якщо трикутник в декартовій системі xOy

заданий рівняннями прямих

l₁: A₁x + B₁y + C₁ = 0,

l₂: A₂x + B₂y + C₂ = 0,

l₃: A₃x + B₃y + C₃ = 0,

тоді рівняння висоти, що опущена на l₃:

(A₁x + B₁y + C₁)(A₂A₃ + B₂B₃) = (A₂x + B₂y + C₂)(A₁A₂ + B₁B₂)

рівняння медіани, що проходить через точку перетину l₁та l₂:

(A₁x + B₁y + C₁)(A₂B₃ – A₃B₂) = (A₂x + B₂y + C₂)(A₃B₁+ A₁B₃).

Ці прямі утворюють трикутник тоді і тільки тоді,коли не рівний нулю визначник Vтретього порядку, що утворений з трьох векторів: (A₁; B₁; C₁), (A₂; B₂; C₂), (A₃; B₃; C₃), тобто вираз V = A₁B₂C₃+ C₁A₂B₃+ B₁C₂A₃- A₃B₂C₁ - A₁B₃C₂- A₂B₁C₃ ≠ 0

Площа трикутника S, що задана трьома рівняннями прямих:

l₁: A₁x + B₁y + C₁ = 0,

l₂: A₂x + B₂y + C₂ = 0,

l₃: A₃x + B₃y + C₃ = 0,

обчислюється за формулою:

S = 0,5(V)² :(А₁B₂-А₂B₁) (А₂B₃-А₃B₂)(А₃B₁-А₁B₃),

де V = A₁B₂C₃+ C₁A₂B₃+ B₁C₂A₃- A₃B₂C₁ - A₁B₃C₂- A₂B₁C₃.

Довжина відрізка на прямій у = kx + b, якщо a<x<b

d = (1+k)^0,2(b – a).

Завдання для самостійного дослідження.

1. Розкласти число 200 на суму таких двох цілих додатних чисел, щоб одне з них ділилось на 11, а друге — на 13.

2. Розкласти число 800 на суму таких двох цілих додатних чисел, щоб одне з них ділилось на 17, а друге — на 23.

3.Розкласти число 170 на суму таких двох цілих додатних чисел, щоб одне з них ділилось на 11, а друге — на 13.

4. Для настилання підлоги завширшки 6 м є дошки завширшки 17 см і 15 см. Скільки треба 43. взяти дощок того й другого розмірів, якщо вважати, що довжина кімнати і довжина дощок однакові, і дошки кладуться вздовж кімнати?

5. На трасі 800 м треба прокласти газові труби. На складі є труби довжиною 11 м і 13 м. Як найекономніше використати ці труби?

6. Автобаза може послати 30 машин для вивозу цукрових буряків на три приймальні пункти. На базі є дво-, три- і п'ятитонні машини. Скільки треба машин кожної тонажності, щоб за кожну ходку вивозити 100 тонн буряків? Знайти оптимальний розв'язок.

7. 26 осіб витратили разом 88 монет, причому кожен чоловік витратив 6, жінка — 4, а дівчина — 2 монети. Скільки було чоловіків, жінок і дівчат?

8. Записати формулу чисел, які діляться на 7. Записати формулу чисел, які при діленні на 5 дають остачу 3.

9. Записати числа, які є наступними для чисел n, 3n, n+2, 2n+1, ?

10.Чи діляться n(n+1) на 2? На які числа ділиться добуток n(n+1)(n+2)? Довести, що сума двох непарних послідовних чисел ділиться на 4.

11. Довести, що сума трьох послідовних парних чисел ділиться на 6.

12. Довести, що сума п'яти послідовних чисел ділиться на 5.

13. Довести, що сума двох парних послідовних чисел не ділиться на 4.

14. Довести, що сума чотирьох послідовних парних чисел не ділиться на 8.

15. Довести, що сума чотирьох послідовних натуральних чисел не може бути простим числом.

16. Довести, що добуток трьох послідовних натуральних чисел, менше з яких є непарним числом, ділиться на 6.

17. Довести, що добуток трьох послідовних натуральних чисел, менше з яких є парним числом, ділиться на 24.

18. Довести, що добуток (n+5)(n+10) є парне число при будь-якому натуральному n.

19. Довести, що при будь-яких цілих а і b добуток аb(а+b) -парне число.

20.Довести, що добуток чотирьох послідовних натуральних чисел ділиться на 24.

21. Довести, що добуток п'яти послідовних натуральних чисел ділиться на 120.

21. Розв'язати в цілих числах невизначені рівняння;

1) х+3у=5; 2) 2х-5у=4; 3) 7х+2у=13 і 4)16х-5у=1.

22. Розв'язати в цілих числах невизначені рівняння:

1) 12х+5у=17; 2)5х+7у=11; 3) 21х+19у=73 і 4) 15х-7у=19.

Модуль 9

Практикум

РІВНЯННЯ ПЕРШОГО СТЕПЕНЯ З ПАРАМЕТРАМИ

1. Знайти усі розв’язки рівняння з невідомим х, при довільних значеннях параметра а:

А) -2х + 4а = -7; 3-6а - 2х = 2а; 5-0,5х - а = а; 1-2х + 3а = 3а; 2-5а - 8х = 1-5а; 5,5а - 8х = -4а+1.

Б) 5х - 8а = -5; 7- а + 5х = 3а; 7-0,2х - 4а = 4а; 2-8х + 5а = 5а; 3-5а - х = 4-5а; - 7,2а - 4х = 6а-4.

В) -4х + а = -9; 5-7а - 8х = -5а; 9 -0,4х-3а = 3а; 4-2х + 7а = 7а; 4-5а - 3х = 7-5а; 8,4а - 2х = -5а-7.

Г) 4х - 2а = -4; 4-9а - 2х = -4а; 3-0,3х - 6а = 6а; 5-5х + 9а = 9а; 9-5а - 4х = 10-5а; -4,8а -5х = 2а+3.

Д) -5х + 6а = -8; 8 +2а-2х = -2а; 1-0,7х-8а = 8а; 6-4х - 3а = -3а; 8-5а - 7х = 15-5а; 2,5а - 4х = -4а-7.

2. Знайти усі такі значеннях параметра а, при яких рівняння з невідомим х має тільки додатні корені.

А) -3х + 4а = -2а; -4а - 2х = 2а; -0,6х - а = а; -1,2+х + 3а = 3а; 8,5а - 8х = 1,5а; -3а+1-8х = -4а+1.

Б) 4х - 7а = -5а; -6а + 5х = 3а; -0,3х - 4а = 3а; 2,8+х + 5а = 5а; 6,5а - х = 4,5а; 7а - 4 - 4х = 6а-4.

В) -5х + 3а = -9а; -5а - 8х = -5а; -0,2х-3а = -4а; -4,4+х + 7а = 7а; 5,5а - 3х = 7,5а; -6а+7- 2х = -5а+7.

Г) 6х - 2а = -4а; -7а - 2х = -4а; -0,1х - 6а = 5а; 5,4+х + 9а = 9а; 7,5а - х = 10,5а; -8а+3-5х = 2а+3.

Д) -9х + 8а = -8а; -8а - 4х = -2а; -0,5х - 8а = 7а; -6,4+х - 3а = -3а; 9,5а - 7х = 15,5а; 5а+7-4х = -4а+7.

3. Знайти такі значеннях параметра а, при яких рівняння з невідомим х має тільки від’ємні корені.

А) -4х + 5а = -3а; -2а - 2х = 2а; -0,4х - а = а; 1,2+х + 3а = 3а; 7,5а - 8х = 1,5а; -3а+2-8х = -4а+2.

Б) 5х - 7а = -5а; -4а + 5х = 3а; -0,8х - 4а = 3а; -8+х + 5а = 5а; 9,5а - х = 4,5а; 7а -5 - 4х = 6а-5.

В) -2х + 8а = -9а; -7а - 8х = -5а; -0,9х - 3а = -4а; -4+х + 7а = 7а; 4,5а - 3х = 7,5а; -6а+8- 2х = -5а+8.

Г) 6х - 5а = -4а; -9а - 2х = -4а; -0,1х - 6а = 5а; -6+х + 9а = 9а; 6,5а - х = 10,5а; -8а+4-5х = 2а+4.

Д) -8х + 8а = -8а; -5а - 4х = -2а; -0,5х - 8а = 7а; 6,4+х - 3а = -3а; 2,5а - 7х = 15,5а; 5а+7-4х = -4а+7.

4. Знайти усі такі значеннях параметра а, при яких рівняння з невідомим х має нульовий корені.

А) -7х + 5а = -3а; -23 - 2х = 2а; -0,3х - а = а; 2+3х + 7а = 3а; 1-5а - 8х = 1-5а; -3а+5-8х = -4а+4.

Б) 8х - 7а = -5а; -45 + 5х = 3а; -0,8х - 4а = 3а; -8+х + 3а = 5а; 1-45а+х =1- 45а; 7а -5- 4х = 6а-6.

В) -9х + 8а = -9а; -78 - 8х = -5а; -0,2х - 3а = -4а; -4-х + 5а = 7а; 7-5а - 3х = 7-5а; -6а+3- 2х = -5а+7.

Г) 6х - 5а = -4а; -96 - 2х = -4а; -0,1х - 6а = 5а; -6-х + 9а = 8а; 6-5а - х = 6-5а; -8а+4-5х = 2а+1.

Д) -3х + 8а = -8а; -52 - 4х = -2а; -0,5х - 8а = 7а; 6+5х - 3а = -2а; 2-5а - 7х = 2-5а; 5а+1-4х = -4а+6.

4. Знайти усі такі значеннях параметра а, при яких рівняння з невідомим х має корінь -2:

А) -2х + 4а = -7; 3-6а - 2х = 2а; 5-0,5х - а = а; 1-2х + 3а = 3а; 2-5а - 8х = 1-5а; 5,5а - 8х = -4а+1.

Б) 5х - 8а = -5; 7- а + 5х = 3а; 7-0,2х - 4а = 4а; 2-8х + 5а = 5а; 3-5а - х = 4-5а; - 7,2а - 4х = 6а-4.

В) -4х + а = -9; 5-7а - 8х = -5а; 9 -0,4х-3а = 3а; 4-2х + 7а = 7а; 4-5а - 3х = 7-5а; 8,4а - 2х = -5а-7.

Г) 4х - 2а = -4; 4-9а - 2х = -4а; 3-0,3х - 6а = 6а; 5-5х + 9а = 9а; 9-5а - 4х = 10-5а; -4,8а -5х = 2а+3.

Д) -5х + 6а = -8; 8 +2а-2х = -2а; 1-0,7х-8а = 8а; 6-4х - 3а = -3а; 8-5а - 7х = 15-5а; 2,5а - 4х = -4а-7.

5. Знайти усі такі значеннях параметра а, при яких два рівняння з невідомим х мають рівні корені:

А) 1) -2х + 4а=х-7 і 3-6а - 2х = 2а; 2) 5-0,5х - а = а і 1-2х + 3а = 3а; 3) а - 8х =1-5а і - 8х = -4а+1.

Б) 1) 5х - 8а=х-5 і 7- а+5х =х+3а; 2) 7-2х - 4а = 4а і 2-8х + 5а = 5а; 3)3-5а - х =4-5а і -2а-4х=6а-4.

В) 1) -4х+а =х-9 і 5-7а-8х = х-5а; 2) 9-0,4х-3а = 3а і 4-2х +7а = 7а; 3) 4-5а-3х =7-5а і 8,4а-2х =5а-7.

Г) 1) 4х-2а =х-4 і 4-9а-2х =х-4а; 2) 3-0,3х-6а = 6а і 5-5х + 9а = 9а; 3) 9-5а-4х=10-5а і -4,8а-5х=-2а+3.

Д) 1)-5х +6а =х-8 і 8+2а-2х =х-2а; 2) 1-0,7х-8а = 8а і 6-4х-3а= -3а; 3) 8-5а -7х = 15-5а і 2а- 4х = 4а-7.

6 Знайти усі значення параметра а, при яких два рівняння з невідомим х мають протилежні корені:

А) 1) -2х + 5а=х-7 і 3-6а - 2х = 8а; 2) 5-4х - а = а і 1-2х + 3а = 3а; 3) а - 8х =1-5а і - 8х = -4а+1.

Б) 1) 5х - 6а=х-5 і 7- а+5х =х+3а; 2) 7-5х - 4а = 4а і 2-8х + 5а = 5а; 3)3-5а - х =4-5а і -2а-4х=6а-4.

В) 1) -5х+а =х-9 і 5-7а-8х = х-6а; 2) 9-0,4х-3а = 3а і 4-2х +7а = 7а; 3) 4-5а-3х =7-5а і 8,4а-2х =5а-7.

Г) 1) 6х-7а =х-4 і 4-9а-2х =х-7а; 2) 3-8х-6а = 6а і 5-5х + 9а = 9а; 3) 9-5а-4х=10-5а і -4,8а-5х=-2а+3.

Д) 1)-5х +6а =х-8 і 8+2а- х =х-2а; 2) 1-2х-8а = 8а і 6-4х-3а= -3а; 3) 8-5а -7х = 15-5а і 2а- 4х = 4а-7.

7.Вказати усі значення параметра а, при яких два рівняння з невідомим х мають корені, різниця яких 2:

А) 1) -2х + 3а=х-7 і 3-6а - 2х = 2а; 2) 5-0,5х - а = а і 1-2х + 3а = 3а; 3) а - 8х =1-5а і - 8х = -4а+1.

Б) 1) 5х - 2а=х-5 і 7- а+5х =х+3а; 2) 7-2х - 4а = 4а і 2-8х + 5а = 5а; 3)3-5а - х =4-5а і -2а-4х=6а-4.

В) 1) -7х+а =х-9 і 5-7а-8х = х-5а; 2) 9-0,4х-3а = 3а і 4-2х +7а = 7а; 3) 4-5а-3х =7-5а і 8,4а-2х =5а-7.

Г) 1) 3х-4а =х-4 і 4-9а-2х =х-4а; 2) 3-0,3х-6а = 6а і 5-5х + 9а = 9а; 3) 9-5а-4х=10-5а і -4,8а-5х=-2а+3.

Д) 1)-5х +6а =х-8 і 8+2а-2х =х-2а; 2) 1-0,7х-8а = 8а і 6-4х-3а= -3а; 3) 8-5а -7х = 15-5а і 2а- 4х = 4а-7.

8.Вказати усі значення параметра а, при яких два рівняння з невідомим х мають корені, частка яких рівна 2:

А) 1) -2х + 4а=х-7 і 3-6а - 2х = 2а; 2) 5-0,5х - а = а і 1-2х + 3а = 3а; 3) а - 8х =1-5а і - 8х = -4а+1.

Б) 1) 5х - 8а=х-5 і 7- а+5х =х+3а; 2) 7-2х - 4а = 4а і 2-8х + 5а = 5а; 3)3-5а - х =4-5а і -2а-4х=6а-4.

В) 1) -4х+а =х-9 і 5-7а-8х = х-5а; 2) 9-0,4х-3а = 3а і 4-2х +7а = 7а; 3) 4-5а-3х =7-5а і 8,4а-2х =5а-7.

Г) 1) 4х-2а =х-4 і 4-9а-2х =х-4а; 2) 3-0,3х-6а = 6а і 5-5х + 9а = 9а; 3) 9-5а-4х=10-5а і -4,8а-5х=-2а+3.

Д) 1)-5х +6а =х-8 і 8+2а-2х =х-2а; 2) 1-0,7х-8а = 8а і 6-4х-3а= -3а; 3) 8-5а -7х = 15-5а і 2а- 4х = 4а-7.

9. Вказати усі такі значення параметра а, при яких рівняння з невідомим х має тільки натуральні корені:

А) -ах + 2а=2а-6 ; 3 – 2ах = 2; -3ах + а = -36+а; 5ах + 7 = -3; 5ах - х = -2+10а;

Б) -8ах+7а =-24+7а; 45 + 5ах = 35; 8ах + 8 = 64; -8ах + 3 = -11; -4ах+2х =-16а+8;

В) -9ах -9а =-36 -9а; 8ах = -40; -2ах - 3 = 4; -4ах + 5а = 5а+24; 7-5х–3ах = 7-15х–9ах;

Г) 6ах - 5а =6-5а; -96 = 48ах; -5ах - 6а = 6а-5; -6ах + 9а = 9а+18; 65ха - х = 130а-2;

Д) -3ах + 9 = -12; -52 – 4ах = -48; -0,5ах - 8а = -6-8а; 6+5ах-3а = -3а+16; -5а²∙ х = 15а.

10. Вказати усі такі значення параметра а, при яких рівняння з невідомим х має тільки цілі корені:

А) -ах + 4а=4а-8 ; 3 – 2ах = 2; -3ах + а = -36+а; 5ах + 7 = -3; 5ах - х = -2+10а;

Б) -8ах+3а =-16+3а; 45 + 5ах = 35; 8ах + 8 = 64; -8ах + 3 = -11; -4ах+2х =-16а+8;

В) -9ах -7а =-18 -7а; 8ах = -40; -2ах - 3 = 4; -4ах + 5а = 5а+24; 7-5х–3ах = 7-15х–9ах;

Г) 6ах - 5а =6-5а; -96 = 48ах; -5ах - 6а = 6а-5; -6ах + 9а = 9а+18; 65ха - х = 130а-2;

Д) -3ах + 9 = -12; -52 – 4ах = -48; -0,5ах - 8а = -6-8а; 6+5ах-3а = -3а+16; -5а²∙ х = 15а.

11. Вказати усі такі значення параметра а, при яких рівняння з невідомим х має безліч коренів:

А) -ах + 4х+1 = 5-а; 3 – 2ах –а = 3-а; -3ах + ах +6а = 6а; (5+а)(4-3а)х =(а+5)(-3а+4).

Б) -8ах+3х+2 = -8а+5; 7 – 4ах -5а = 7-5а; 8ах –15а = 8ах –15а; (3+2|а|)(4-3|а|)х =(4а+5)(-3а+4).

В) -9ах -7х -4 = -9а -11; 5 – 5ах-х-4а = 5-4а; -5ах + ах +67а = 67а; (7+|а|)(4-8|а|)х =(|а|+7)(-8|а|+4).

Г) 6ах-5х +2 = 6а-3; х +9 – 7ах –а = 9-а; -7ах + ах +18а = 18а; (6+2|а|)(4-2|а|)х =(а+5)(-2а+4).

Д) -3ах + 9х -4 = 5-3а; 1+ 4х – 8ах-а = 1-а; -9ах + ах -39а = -39а; (8+3а)(14-3а)х =(3|а|+8)(-3|а|+14).

12. Вказати усі такі значення параметра а, при яких рівняння з невідомим х має тільки один корінь:

А) -2ах + 4х+1 = 5-2а; 3 – 2ах –а = 3-а; -3ах + ах +6а = 6а; (2+а)(4-8а)х =(а+2)(-8а+4).

Б) -8ах+3х+2 = -8а+5; 7 – 4ах -5а = 7-5а; 8ах –15а = 8ах –15а; (5+4а)(4-7а)х =(4а+5)(-7а+4).

В) -9ах -7х -4 = -9а -11; 5 – 5ах-х-4а = 5-4а; -5ах + ах +67а = 67а; (7+а)(4-8а)х =(а+7)(-8а+4).

Г) 6ах-5х +2 = 6а-3; х +9 – 7ах –а = 9-а; -7ах + ах +18а = 18а; (6+2а)(4-2|а|)х =(а+5)(-2|а|+4).

Д) -3ах + 9х -4 = 5-3а; 1+ 4х – 8ах-а = 1-а; -9ах + ах -39а = -39а; (8+3а)(14-3|а|)х =(3а+8)(-3|а|+14).

13. Вказати усі такі значення параметра а, при яких рівняння з невідомим х не мають коренів:

А) -2ах + 4х+1 = 5-2а; 5 – 2ах –а = 1-4а; -2ах + ах +6а = 7а; (6+|а|)(4-3а)х =(а+7)(-3|а|+9).

Б) -8ах+3х+2 = -8а+5; 8 – 4ах -5а = 6-6а; 8ах –15а = 8ах –3а; (3+2|а|)(1-3а)х =(4а+9)(-3|а|+3).

В) -9ах -7х -4 = -9а -11; 6 – 5ах-х-4а = 2-6а; -5ах + ах +7а = 6а; (2+|а|)(4-8а)х =(а+6)(-8|а|+4).

Г) 6ах-5х +2 = 6а-3; 2х +9 – 7ах –а = 4-5а; -7ах + ах +8а = 1а; (6+2|а|)(4+а)х =(а+4)(-4|а|+6).

Д) -3ах + 9х -4 = 5-3а; 5+ 4х – 8ах-а = 7-3а; -9ах + ах -9а = -3а; (6+3|а|)(14-3а)х =(3а+9)(-3|а|+14).

14. Знайти усі такі значення параметра а, при яких розв’язок рівнянь знаходиться на проміжку 1

А) -7х + 5а = -3а; -23 - 2х = 2а; -0,3х - а = а; 2+3х + 7а = 3а; 1-5а - 8х = 1-5а; -3а+5-8х = -4а+4.

Б) 8х - 7а = -5а; -45 + 5х = 3а; -0,8х - 4а = 3а; -8+х + 3а = 5а; 1-45а+х =1- 45а; 7а -5- 4х = 6а-6.

В) -9х + 8а = -9а; -78 - 8х = -5а; -0,2х - 3а = -4а; -4-х + 5а = 7а; 7-5а - 3х = 7-5а; -6а+3- 2х = -5а+7.

Г) 6х - 5а = -4а; -96 - 2х = -4а; -0,1х - 6а = 5а; -6-х + 9а = 8а; 6-5а - х = 6-5а; 8|а|+4-5х = 2|а|+1.

Д) -3х + 8а = -8а; -52 - 4х = -2а; -0,5х - 8а = 7а; 6+5х - 3а = -2а; 2-5а - 7х = 2-5а; 5|а|+1-4х = -4|а|+6.

15. Знайти усі такі значення параметра а, при яких розв’язок рівнянь знаходиться на проміжку 2 <|х| < 4

А) -2х + 4а = -7; 3-6а - 2х = 2а; 5-0,5х - а = а; 1-2х + 3а = 3а; 2-5а - 8х = 1-5а; 5,5а - 8х = -4а+1.

Б) 5х - 8а = -5; 7- а + 5х = 3а; 7-0,2х - 4а = 4а; 2-8х + 5а = 5а; 3-5а - х = 4-5а; - 7,2а - 4х = 6а-4.

В) -4х + а = -9; 5-7а - 8х = -5а; 9 -0,4х-3а = 3а; 4-2х + 7а = 7а; 4-5а - 3х = 7-5а; 8,4а - 2х = -5а-7.

Г) 4х - 2а = -4; 4-9а - 2х = -4а; 3-0,3х - 6а = 6а; 5-5х + 9а = 9а; 9-5а - 4х = 10-5а; -4,8а -5х = 2а+3.

Д) -5х + 6а = -8; 8 +2а-2х = -2а; 1-0,7х-8а = 8а; 6-4х - 3а = -3а; 8-5а - 7х = 15-5а; 2,5а - 4х = -4а-7.

16. Знайти усі такі значення параметра а, при яких розв’язок рівнянь знаходиться на проміжку -2

А) -7|х|+5а = -3а; -23 - 2|х| = 2а; -0,3|х| - а = а; 2+3|х| + 7а = 3а; 1-5а - 8|х| = 1-5а; -3а+5-8|х| = -4а+4.

Б) 8|х|-7а = -5а; -45 + 5|х| = 3а; -0,8|х| - 4а = 3а; -8+|х| + 3а = 5а; 1-45а+|х| =1- 45а; 7а -5- 4|х|= 6а-6.

В) -9|х|+ 8а = -9а; -78 - 8|х| = -5а; -0,2|х| - 3а = -4а; -4-|х|+ 5а = 7а; 7-5а - 3|х| = 7-5а; -6а+3- 2|х| = -5а+7.

Г) 6|х|- 5а = -4а; -96 - 2|х| = -4а; -0,1|х| - 6а = 5а; -6-|х| + 9а = 8а; 6-5а - |х| = 6-5а; -8а+4-5|х| = 2а+1.

Д) -3|х|+ 8а = -8а; -52 - 4|х| = -2а; -0,5|х|- 8а = 7а; 6+5|х| - 3а = -2а; 2-5а - 7|х| = 2-5а; 5а+1-4|х| =-4а+6.

17. Знайти усі такі значення параметра а, при яких розв’язок рівнянь знаходиться на проміжку 5 <|х| < 9

А) -2|х|+4а = -7; 3-6а -2|х|= 2а; 5-0,5|х|- а= а; 1-2|х| + 3а = 3а; 2-5а - 8|х| = 1-5а; 5а - 8|х|= -а+1.

Б) 5|х|-8а = -5; 7- а + 5|х|= 3а; 7-0,2|х|- 4а = 4а; 2-8|х| + 5а = 5а; 3-5а -|х|= 4-5а; - 2а - 4|х|= 6а-4.

В) -4|х|+ а = -9; 5-7а - 8|х|= -5а; 9 -0,4|х|-3а = 3а; 4-2|х|+ 7а = 7а; 4-5а - 3|х|= 7-5а; 4а - 2|х|= -5а.

Г) 4|х|- 2а = -4; 4-9а - 4|х| = -4а; 3-0,3|х| - 6а = 6а; 5-5|х| + 9а = 9а; 9-5а - 4|х| = 10-5а; 48-5|х|=2а+3.

Д) -5|х| + 6а = -8; 8 +2а-5|х| = -2а; 1-0,7|х|-8а = 8а; 6-4|х|- 3а = -3а; 8-5а - 7|х| = 15-5а; 2,5- 4|х| = -4а.

Модуль 10.

Практикум. Графіки функцій.

1. Для лінійних функцій а) у = 5-3х; б) у= 4х +3:

а) перевірити різними способами правильність заповнення таблиці значень функцій ;

б) побудувати в прямокутній системі координат xOy графіки даних функцій;

в) знайти і записати область визначення даної функції D(f);

г) знайти і записати область значення даної функції Е(f);

ґ) знайти і записати нулі даної функції;

д) знайти і записати числові проміжки, на яких додатна функція, тобтоf(x) > 0;

е) знайти і записати числові проміжки, на яких від’ємна функція f(x) < 0; ;

є) знайти і записати числові проміжки, на яких функція зростає;

ж) знайти і записати числові проміжки, на яких функція спадає;

з) знайти і записати числові проміжки, на яких функція постійна;

і) знайти і записати числові проміжки, на яких функція невизначена;

к) знайти і записати точки перетину з віссю ординат даної функції ;

л) знайти і записати проміжки неперервності даної функції;

м) знайти і записати локальні мінімуми та максимуми даної функції на проміжку [-5; 7];

н) знайти і записати глобальні мінімуми та максимуми даної функції [-5; 7]; ;

о) знайти і записати точки перегину даної функції;

р) знайти і записати точки розриву даної функції.

1) Накресліть ескізи графіків функцій івстановіть відповідність між графіками функцій, зображених на мал. і формулами: у= -2/х; у = х²; у=х⁰; у= -х²; у= -х³; у=х³; у=2/x; у = 2; х = -1; у = х.

Зберегти як PDF

Надрукувати