Поняття складеної функції.

 

   Означення. Композицією(суперпозицією, складеною функцією) двох функцій

f: А-->В

р: В-->С

називається функція

g: А-->С,

яка визначається тотожністю 

g(х) =  р(f(x)), де х є А

 

Композиція  р(f(x)) читається справа наліво: композиція функцій  f та р.

Іноді в математичній літературі використовують позначення композиції двох функцій  fop.

Зауваження. Як правило, різні вирази:   р(f(x)) та  f(p(x)).

 

        Приклад 1. Знайти складену функцію

f(f(f(х)))

якщо f(х)= -3х+2 та обчислити її значення при х= -1.

Розв’язання: Розпочнемо конструювати  композицію для лінійної функції

f(x) = ax + b, де аR, bR.

Підставимо  в аргумент  шуканої функції аx+b

f(f(x)) =  f(аx+в) = a(аx+b)+ b =а²х + ba+b

і послідовно продовжимо аналогічну процедуру підстановки.

Отже для даної функції знайдемо послідовність композицій складених функцій:

g(x) = f(f(x)) = -3(-3х+2) + 2 = 9х-6+ 2 = 9х – 4.

h(x) = f(g(x)) = f( f(f(x)))  = -3(9х-4) + 2 = -27х +12 + 2 = -27х + 14.

f( f(f(-1)))  = 41.

Відповідь:  f( f(f(x)))  = -27х + 14; f( f(f(-1)))  = 41.

 

          Приклад . Знайти складену функцію

f(f(...f(х))...)  (11-разова композиція f),

якщо f(х)= -х³ та обчислити її значення при х= -1.

Розв’язання: Розпочнемо конструювати  композицію для кубічної функції

h₁(x)   =  f(x) =-х³

Підставимо  в аргумент  шуканої функції -х3

 

h₂(x)  =  f(f(x)) =  f(-х³) = -(-х³)³ = х⁹

 

і послідовно продовжимо аналогічну процедуру підстановки.

Отже для даної функції знайдемо послідовність композицій складених функцій:

h₃(x)    =      f( f(f(x)))  = f(х⁹) = -(х⁹)³ = -х²⁷,

..................................................................,

h₁₁(x)    =      f(... f(f(x)...))  = -х¹⁷⁷¹⁴⁷  .

Обчислимо значення функції

h₁₁(-1)    =      f(... f(f(-1)...))  = -(-1)¹⁷⁷¹⁴⁷  = 1.

Відповідь:  1.

 

Взаємно обернені функції.

 Цікавими для математиків являються композиції двох функцій, які не змінюють значення аргументу, тобто композиції виду

f(p(у))=у      та         р(f(x))=х,    (*)

де   x є А, у є В,

f: А-->В

р: В-->А .

       Такі композиції  будемо вважати функціональними рівняннями, а пару функцій, що задовольняє  рівностям  (*) називатимемо взаємно оберненими  функціями.

Множина  розв’язків  двох рівнянь (*) – це клас функцій, за допомогою яких математики розв’язують звичайні, тригонометричні, логарифмічні та інші рівняння.

        Тому важливо знати умови існування обернених функцій.

Всі функції можна розбити на два класи: 1. Функції, обернені до яких є функціями;  2. Функції, обернені до яких не є функціями.  Перші називаються оберненими,  другі – не обернені.

    Обернені функції – це відповідність, в якій немає пар з однаковими першими та різними другими компонентами(функція!!!) та немає пар з однаковими другими та різними першими компонентами (обернена!!!)

Тому обернена функція кожне своє значення приймає тільки один раз, а її графік у декартовій системі координат не має точок з однаковими абсцисами і різними ординатами, а також точок з різними абсцисами, але однаковими ординатами.

 Приклад. Знайти лінійну функцію р(х), якщо

р(f(х)) = х,

f(х)= -4х + 3.

Розв’язання.   Спочатку з’ясуємо, чи дана функція може мати обернену. Якщо припустити, що дана функція немає оберненої, то повинні існувати такі значення

х₁ х₂, для яких  f(х₁)=f(х₂).

Тоді -4х₁+3=-4х₂+3, звідки х₁  =  х₂.

Дане протиріччя доводить, що дана функція має обернену.

   Розпочнемо конструювати взаємно обернену функцію. Нехай

у=-4х+3.

Замінимо х на  у. А потім виразимо у через х.

х = -4у + 3,

 звідси 

-4у = х - 3,

остаточно       у = -0,25х + 0,75.  

   Таким чином,

f(х)= -4х + 3

та

р(х) = -0,25х + 0,75.

Виконаємо перевірку.

р(f(х))= -0,25(-4х + 3) + 0,75 = х - 0,75 + 0,75 = х.

  Області визначення та області значення обох функцій становлять множину дійсних чисел.

Відповідь: р(х) = -0,25х + 0,75.

 

   Існують функції, які обернені самі до себе. До них належать такі функції:

у=1/x,

y=x,

y=-x,

y=(x+1)/(x-1)  і т.д.

Постарайтесь впевнитися в цьому самостійно.

Графіки взаємно обернених  функцій завжди симетричні відносно прямої y=x.

 Наводимо приклади двох взаємно обернених функцій:

f = x³ та f ^-1= х^1/3,

f = аx +b та f ^-1= (х - b):а.

 

   Правило знаходження оберненої функції.

 Якщо функція f задана формулою у= f(х), то для знаходження оберненої функції до даної, достатньо розв’язати рівняння  у= f(х) відносно х та зробити заміну х на у.

   Властивість  оберненої функції:

1.Обернена до оберненої функції являється даною функцією 

( f ^-1) ^-1 = f.

Обернена до складеної функції шукається як композиція обернених компонентів справа наліво

                 

(  f(р) ) ^-1 = р ^-1( f ^-1).

 

     Завдання для самостійного    опрацювання

 

Завдання обов’язкові до виконання

 

Приклад а1. Знайти композиції функції  f(f(x)), якщо:

а) f(x) =х;  б) f(x) =-2х;   в) f(x) =-2 - х;  г) f(x) =-2х- 4; д) f(x) =-2х²+ 5;  е) f(x) =-2:х.

Приклад а2. Знайти лінійну функцію р(х),  якщо р(f(x))=х та відомо:

а) f(x) =х;  б) f(x) =-2х;   в) f(x) =-2 - х;   г) f(x) =-2х-6;

д) f(x) = (х + 3):(2- х);  е) f(x) =-  (х + 1):(1- х);

 

Приклад а3. Знайти композиції функцій  g(x)= р(f(x))  та обчислити g(0), якщо:

а) f(x)= 1/x; р(x)= х²+ х;   б) f(x)=–1/(2+x); р(x)= х²-х;

в) f(x)= -2x³-2х²; р(x)= х²-2х;    г) f(x)= -2/(1+x³); р(x)= -х²-2х;

д) f(x)=x³/(1+x2); р(x)= -3x²-7.

 

 

 

 

РОЗВИТОК КОМПЕТЕНЦІЙ З   ТЕМИ «КВАДРАТИЧНА ФУНКЦІЯ»

 

1. А) Якщо квадратична  функція  f(x) =ах² + bx + с, де а – ненульове число,  b  та с  - дійсні  числа, приймає два значення  f(0) = с  та f(1) =а + b + с такі, що  f(0)∙f(1)  = ас + bс + с²  ≤ 0, то квадратична функція має хоча б один нуль. Доведіть це. Чи вірно, що цей нуль завжди можна записати правильним звичайним дробом?
 Б) Розв’язати рівняння:  а) - г) і виконати перевірку.  У рівнянні з параметром, що в пункті д) знайти, при якому значенні параметра  k  рівняння має: а) один корінь; б) один додатний корінь; в) один від’ємний корінь; г) два корені; д) два протилежні корені; е) немає коренів;  є) два корені: нульовий  і додатний; ж) два корені: нульовий  і від’ємний; з) два не додатних  корені; и) два  корені різних знаків;  ї)два взаємно обернені корені.

а) z² = (– 1³) ⁶;   

б) 6х³ = 54x;    

в) (х-1)(х+9) = 8х;  

г) (6х – 9)² + (9х + 6)² = 84;

 д) -9kх² – (4-3k)х -0,25k = 0.  

2.  Знайти вісь симетрії та коефіцієнти а, b, с  квадратичної функції          f(x) =ах² + bx + с, якщо відомо, що графік проходить через такі  три  точки: 

а) (-4; 0), (3;0), (0; -12); 

б) ( 1; 1), (2;2),  (0; 2); 

 в) (2; 3), (3;4),  (4; 3). 

3.  Побудуйте графіки  функцій:  

a) f(x) = max{ 2/x/ - 4;  х² -5x + 4};  

б) f(x) = min{- х² + 3x + 2;  -/x/ + 2};  

в) f(x) = - 2(max{ /x/ - 7;  -7- x })²;  

	29

 

 

4.  Побудуйте графіки  функцій:  

a) f(x) = max{ -х² + 8/x/ - 7;  х² -5/x/ + 4};   

 б) f(x) = min{ -х² + 3/x/ - 2;  х² - 4/x/ + 3}; 

 в) f(x) = - 2(min {/x/;  х² })²;

5.  Розв’яжіть нерівність:  

max{ 2/x/ - 4;  х² -5x + 4} ≤ min{ -х² + 3/x/ - 2;  х² - 4/x/ + 3}.  

6.  Якщо квадратне рівняння ах² + bx + с = 0, де а – ненульове ціле число,  b  та с  - цілі числа, має два раціональні корені, то  принаймні одне з чисел  а, b,с  - парне число. Доведіть це.

7.  Чи може статися так, що квадратне рівняння вигляду:  

х² + (2n-1)x + 2k-1 = 0, 

 де n , k  – цілі числа,  мати:

 а) два парні корені:

б) два непарні корені,

в) два корені різної парності?

 Відповідь обґрунтувати.

8.  Чи може статися так, що квадратне рівняння вигляду:

 х² + 2nx + 2k = 0, де n , k  – цілі числа,  мати:

а) два парні корені;

б) два непарні корені;

 в) два корені різної парності?

 Відповідь обґрунтувати.

9.  Чи може статися так, що квадратне рівняння вигляду:

 х² + (2n)x + 2k-1 = 0, де n , k  – цілі числа,  мати:

а) два парні корені:

б) два непарні корені;

в) два корені різної парності?

Відповідь обґрунтувати.

 

	30

 

 

10.   Чи може статися так, що квадратне рівняння вигляду:  х² + (2n-1)x + 2k = 0,  де n , k  – цілі числа,  мати: а) два парні корені: б) два непарні корені, в) два корені різної парності? Відповідь обґрунтувати.

11.  Доведіть, що коли многочлен ах² + bx + с, де а – ненульове ціле число,  b  та с  - цілі числа, при х=0 та х=1 має непарні значення, то він не має цілих коренів.

12.  У кажіть усі значення параметр а для квадратного рівняння  (а-1)х² - (а+4)x + а+7 = 0, 

при яких існує тільки один корінь: а) нульовий; б) додатний ; в) від’ємний; г) цілий.

13.   У кажіть усі значення параметр а  для квадратного рівняння  

ах² -2(а-1) x + 2а+1=0, при яких  знаки коренів:  а) різні;  б) додатні; в) від’ємні.

14.   Складіть квадратне рівняння з раціональними коефіцієнтами, якщо  один з його коренів є х = 2^0,5 -1.

15.   Складіть квадратне рівняння з раціональними коефіцієнтами, якщо  один з його коренів є:    

а) х = (5^0,5 -3^0,5)/ (5^0,5 +3^0,5) ;       

б)  х = (2^0,5 -7^0,5)/ (2^0,5 +7^0,5) ;  

в)  х = (a^0,5 -b^0,5)/ (a^0,5 +b^0,5).

16. Чи існують  квадратні рівняння з раціональними коефіцієнтами,   знаменники яких виражені числом  2014,  якщо  відомо, що корені рівняння  обмежені числами:  

а)  1< х₁ <2,        3< х₂ <4 ;             

б) -5< х₁ <-4 ;        -5< х₂ <-4 ;   

в)  -6 < х₁ = х₂ <-5. 

 

 

 

Завдання та  вправи з теми «Лінійна функція»        7  клас

1.     Що називається функцією? Наведіть приклади.

2.     Що називається областю виз­начення функції?  Наведіть приклади.

3.     Що називається областю з­начення функції? Наведіть приклади.

4.     Які є способи задання функції?  Який спосіб найзручніший?

5.     Наведіть приклад задання функції за допомогою формули.

6.     Чи залежить периметр рівностороннього трикут­ника від довжини його сторони?

7.     Чи є периметр квадрата функцією від довжини сторони квадрата?

8.     Як можна задати функцію площі квадрату, якщо сторона квадрату дорівнює а?

9.      Яка із залежностей є функцією? Назвіть для неї незалежну змінну (аргумент) та залежну змінну (функцію від цього аргументу):

1) у = 5х -7;   2) k³ = m² + k+ m³;   3) у = 4/x;   4) x² + y/x + y² = 0;   5) р = t² +t– 5;

6) (а+b)(с +a) = 4;  7) x² – y² = 0;   8)  р = t² +t– 5;   9) у = (4+ y)/x;  10)y = x² – x –3.

11. Площа прямокутника зі сторонами х см і 7 см дорівнює S. Виразіть формулою залежність  S від х. Чи задає цяформула функцію?

12. Обчисліть значення функції, заданої формулою у = - 2х – 7для значень аргументу, що дорівнюють -2; 0; 5; 10.

13.  Функцію задано формулою у = 4/(х – 2).У таблиці наведено значення аргументу. Заповніть таку таблицю в зошиті, обчисливши відповідні значення функції:

х	-3,5	-2,4	-1,3	0,4	1/4	2/5	3/4
у = 2х-4

14. Залежність задано формулою у = 4х + 3. Чи задає ця формула функцію?

15. Знайти область визначення функцій:

А) у = ¹ /_{(х +2)};    Б) у = х – 2;   В) у = х² – ¹¹/х;   Г) у = х³ – ²/_(3-9x).

16. Знайти область визначення функцій:

 А) у = 11/(-4х +2);   Б) у = -3/(9х² – 1);  В) у = (х² – 1)/(2х³-8х);   Г) у = 4х/(2х⁴ – 16х).

17. Заповніть таку таблицю в зошиті, обчисливши відповідні значення функції:

х	-3		-1		1	2
у = 6/(х+3)		6		2			1

18. Заповніть таку таблицю в зошиті, обчисливши відповідні значення функції:

х	-3		-1		1		3
у = 7/(х+3)		7		2,5		1,4

19. Заповніть таку таблицю в зошиті, обчисливши відповідні значення функції:

х	-3	-2		0			3
у = 4/(х+3)			2		1	0,8

      20. Знайдіть значення аргументу, при якому: а) функція у = – 3х  набуває значення -6; 9; 15;  б) функція у = 5х – 1 набуває значення -1; 4; 14.

21. Функцію задано таблицею: 

х	-2	-1	0	1	2
у	-5	3	-1	2	7

Знайдіть:  1) значення функції, якщо х= -2; 0; 1;   2) значення аргументу, при якому значення функції дорів­нює -3; 2; 7;   3) область визначення функції;  4) область значень функції.

 

22. Побудуйте графік функції у   = - х - 3. Знайдіть за гра­фіком:

1) яке значення у відповідає х= -2; 0; 4;

2) якому значенню х відповідає у= -3; 0; 6;

3) нулі функції;

4) значення аргументу, при яких функція набуває додат­них значень;

5) значення аргументу, при яких функція набуває від'єм­них значень;

6) зростає чи спадає графік функції?

23. Побудуйте графік функції у = 3х +2.. Знайдіть за гра­фіком:

1) яке значення у відповідає х= -1;  х= 0;  х= 3;

2) якому значенню х відповідає у= -2;  у= 1;  у= 4;

3) нулі функції;

4) значення аргументу, при яких функція набуває додат­них значень;

5) значення аргументу, при яких функція набуває від'єм­них значень;

6) зростає чи спадає графік функції?

24. Побудуйте графік функції у   = - 2х +3. Знайдіть за гра­фіком:

1) яке значення у відповідає х= -2; 2; 4;

2) якому значенню х відповідає у= -3; 0; 6;

3) нулі функції;

4) значення аргументу, при яких функція набуває додат­них значень;

5) значення аргументу, при яких функція набуває від'єм­них значень;

6) зростає чи спадає графік функції?

25. Побудуйте графік функції у = 0,5х – 1.. Знайдіть за гра­фіком:

1) яке значення  у відповідає х= -1;  х= 0;  х= 3;

2) якому значенню  х відповідає у= -2;  у= 1;  у= 4;

3) нулі функції;

4) значення аргументу, при яких функція набуває додат­них значень;

5) значення аргументу, при яких функція набуває від'єм­них значень;

 

 

 

 

 Завдання з теми "Квадратні рівняння та квадратична функція"

А. Розв’язати  біквадратні  рівняння:

1.  а⁴ + 7а² – 8 = 0;    2. b⁴+ b²- 2 = 0;    3. y⁴– 13y²+ 36 = 0;    4. z⁴– 26z²+25 = 0;     5.  х⁴ -20х² +10 = 0; 

6. m⁴– 4m² – 45 = 0;  7.  n⁴ + 6n² – 35= 0;    8. 2k⁴-5k²+ 2 = 0;    9. 3х⁴ -10х² +3= 0;    10.  7х⁴ + 23х² + 3 = 0; 

11. 16 х⁴ -24х² +9 = 0; 12. 25х⁴ -20х² +4 = 0; 13. х⁴ + 8х² +15 = 0; 14. х⁶ + 28х³ + 27 = 0; 15. х⁶+16х³+64 = 0.

  Б.  Розв’язати  рівняння cпособом заміни:

1. (a² + 5a + 2)(a²+ 5a – 1) = 28;       2. (k² – 4k- 2)(k² – 4k+ 1) = 18;       3. (y² + 2y- 1)(y²= 2y+ 1) = 15; 

4. (х² – 4х + 1)(х² – 4х – 1) = 24;       5. (х² + 9х - 2)(х² + 9х + 3) = 24;       6. (х² – 5х - 4)(х² – 5х - 3) = 12.

7. (х² +6х + 6)(х² +6х + 5) = 30;      8. (х² + 7х + 7)(х² + 7х + 8) = 56;       9. (n² – 9n-7)(n² – 9n-6) = 42; 

10. (n² – 3n + 1)(n² – 3n+ 2) = 20;  11. (х² – 5х + 8)(х² – 5х + 9) = 72;    12. (х² + 3х - 2)(х² = 3х + 2) = 12.

   Г.  Розв’язати  рівняння cпособом заміни:

1. (х² – 5х)² + 3(х² – 5х) = 28;           2. (z² –z)² - 4(z² –z) + 7 = 3;           3. (y² + 2y)² - 12(y²+ 2y) + 36 = 0; 

4. (z² – 4z)² + 8 (z² – 4z) – 15 = 0;    5. (х² – 4х)² - 16(х² – 4х) + 88= 24;     6. (х² – 5х)- 20(х² – 5х)-2 = -12.

7. (n² – 6n)⁶–9(n² – 6n)³+ 10 = 2;  8. (х² – 7х)⁶+ 28(х² – 7х)³+ 20 = -7;   9. (m² – 9m)²-7(m² – 9m)+ 6 = 0; 

10. (х² – 3х)²–4(х² – 3х)–45 = 20;  11. (a² – 5a)²+ 8(a² – 5a)-9 = 0;      12. (y² -16)²- 2(y² -16) + 1= 16.

.

   Е.  Розв’язати  рівняння без обчислень дискримінату:

Якщо a + b +с = 0, то х₁ = 1,  х₂ = с/а.  Наприклад:  5х² + 4х – 9 = 0; х₁ =1, х₂ = - 9/2.

Якщо а - b +с = 0, то х₁ = - 1,  х₂ =  - с/а.   Наприклад:  4х² + 11х + 7 = 0; х₁ = - 1, х₂ = - 7/4.

1)14х² – 17х + 3 = 0;  2) 13х² – 18х + 5 = 0;  3) х² – 39х - 40 = 0;  4) х² + 23х - 24 = 0; 5)100х² –83х –183= 0;                                        

6)100 х² + 97х - 197 = 0 ; 7) 4х² –7х + 3 = 0;  8) 3х² + 8х + 5 = 0;  9) 5х² – 9х + 4 = 0;  10) х² + 3х - 4 = 0.

.

Ж. При якому значенні параметра  k  рівняння має: а) недійсні  корені;  б)два протилежні корені;  в) два  корені різних знаків;  г)два недодатних  корені.

 1) х² – (1+ k)х + k = 0;       2) х² – (1-4k)х +  4k = 0;      3) х² – (5 +k)х - 5k = 0;      4) х² – (1- k)х -  2+k = 0.  

5) х² – (4+ 3k)х + 3k = 0;    6) х² – (1-5k)х +  5k = 0;     7) х² – (7 +2k)х - 7k = 0;    8) х² – (1-5k)х -  5+k = 0.   

9) х² – (3 - k)х + k + 2 = 0;  10) х² – (1-4k)х +  k+3 = 0;11) х² – (3 +k)х – 4-k = 0;  12) х² – (1-3k)х -  6k =0 .  

 

 

 

 

Модуль. Квадратична функція та її властивості.

 

Означення.Функції вигляду f(x) = ax² + bx + c називається квадратичною, якщо a -  ненульове дійсне число, b, с – дійсні числа.

 

Графіком квадратичної функції у = ax² + bx + c  є крива лінія, яку називають квадратичною  параболою.

Дискримінант D = b² – 4ac, 

Нулі квадратичної функції:  

х₁ = (‒ b ‒ (b² ‒ 4ac)^0,5 )/(2a),

х₂ = (‒ b + (b² ‒ 4ac)^0,5 )/(2a).

ТРИ способи  запису  квадратичної функції:

у (x) = f(x)= ax² + bx + c = а(х – х₁)(х – х₂)= а(х -0,5b:a)² – 0,25D:a.

 

Координати вершини  квадратичної  параболи: 

х_в = -0,5b:a;  у_в =  - -0,5b:a.

 

Приклад. Графік квадратичної функції задано формулою:

f(x) = ax² + bx + c.

Знайти усі нулі параболи, вершину параболи та коефіцієнти a,  b,  c, якщо відомо, що

f(1) =  2010;  f(–1) =  0.

Розв’язання.

 Знайдемо значення функції при х = 1.

f(1) =  a×1² + b×1 + c = a + b + c  = 2010.

Таким чином, отримаємо.

a + b + c  = 2010,             (1)

Знайдемо нульове значення функції при х = -1.

f(–1) = a×(–1)² + b×(–1) + c= a – b + c  = 0,

 звідси випливає  рівність

b = a + с .             (2).

Вираз (2) підставимо у ліву частину виразу (1) замість суми а + с, отримаємо:

b + a + c  = b + b  = 2010,

2×b  = 2010,

b = 1005.              (3)

Зазначимо, що х₁ = –1 – нуль функції, тобто, -1 – це корінь рівняння

ax² + bx + c = 0.

У цього квадратного рівняння існує і другий корінь. Знайдемо  х₂.

Використовуючи  теорему Вієта, запишемо суму коренів:

  х₁ + х₂ = –  b/а = – 1005.       (4)

Знаючи, перший корінь х₁ = –1  і  b = 1005, маємо два рівняння:             

–1 + х₂ = – 1005.

–  1005/а = – 1005.      

Звідси, отримаємо старший коефіцієнт 

а = 1

та другий корінь:

х₂ = – 1004.

Таким чином, маємо два нулі параболи: х₁ = –1, х₂ = – 1004.

Вкажемо ще один спосіб знаходження значення старшого коефіцієнта а за допомогою  двох нулі і абсциси вершини параболи.

Квадратична парабола є симетричною відносно прямої

у = – 0,5b/а.

 Тому  нулі х₁ , х₂ параболи  – це симетричні точки на осі Ох відносно точки х_в =  – 0,5b/а. Таким чином,  х_в =  – 0,5b/а – це середина відрізка, кінцями якого являються нулі параболи. Середину відрізка можна знайти за формулою:

х_в =  0,5(х₁ + х₂)  = – 0,5b/а.

Враховуючи рівність (3) та (4), маємо

х_в =  0,5(х₁ + х₂)  = 0,5×(-1005)  = –502,5 = – 0,5×1005/а.

Отримали рівняння:

502,5 = – 0,5×1005/а.

Звідси, отримуємо  старший коефіцієнт:  а = 1.

Знайдемо вільний  член с.

Використовуючи  теорему Вієта запишемо добуток коренів:

  х₁×х₂ = с/а = с:1 = с.      

Тобто, вільний член

                          с =  х₁×х₂ = -1×(–1004) = 1004.

Остаточно,  а = 1,  b = 1005, с = 1004.   

 

 

         

ВЛАСТИВОСТІ КВАДРАТИЧНОЇ ФУНКЦІЇ. МАТЕМАТИЧНИЙ ДИКТАНТ.

Вважайте, що запитання коректні і правильні. Відкорегуйте деякі відповіді.

1. Які форми запису існують у квадратичної функцій? Запишіть їх у свій зошит і перенумеруйте.

Відповідь: у = ах²+ bх +c = а(х-m)²+ n =а(х-x₁)(х-x₂).

2. Як називаються графіки квадратичних функцій? За скількома точками графіка можна відновити формулу квадратичної функції.

Відповідь: Квадратичні параболи. За довільними трьома точками.

3. Яку властивість симетрії мають квадратичні функції? Як цю симетрію знайти на графіку?

Відповідь: Осьову симетрії мають квадратичні параболи. Осьовa симетрія квадратичної параболи задається рівнянням прямої: х = -b/(2a).

4. Як можна знайти число, яким обмежений графік квадратичної функції?

Відповідь: Знайти координати вершини параболи за формулою(-b/(2a);–D/ (4a) ). Якщо а>0, то графік обмежений знизу числом –D/ (4a) і необмежений зверху. Якщо a<0, то графік обмежений зверху числом –D/ (4a) і необмежений знизу.

5. Як можна знайти координату точки перетину графіку квадратичної параболи та вісі ординат Оу?

Відповідь: координата точки перетину квадратичної параболи з Оу – це (0; с), де с – вільний член у формулі у=ах²+ bх +c. Або зробити так: у формулу у = ах²+ bх +c підставити замість аргументу х значення нуль і обчислити утворений вираз.

6. Як знайти,скільки може мати нулів квадратична функція на множині дійсних чисел?

Відповідь: Можна зробити це так: у формулу у = ах²+ bх +c підставити замість змінної у значення нуль і розв’язати квадратне рівняння, кількість розв’язків рівняння вказує на кількість нулів функції. Або обчислити знак дискримінанту D = b² – 4ac квадратного рівняння: якщо від’ємний b² – 4ac<0, то функція нулів немає (парабола не перетинає вісь Ох), якщо нульовий b² – 4ac =0 , то нуль функції тільки один(парабола тільки дотикається вісі Ох), якщо додатний b² – 4ac >0 , то у функції нулів аж два(парабола перетинає вісь Ох у двох точках). Взагалі, зрозуміло, що на графіку параболи нулі функції – це значення саме абсциси х, в яких графік параболи перетинає вісь абсцис Ох.

Якщо знайдена або відома форма запису формули квадратичної функції у вигляді множників у=а(х-x₁)(х-x₂), то функція має два нулі: х₁, х₂. Якщо знайдена форма запису формули квадратичної функції у вигляді множників у=а(х-x₁)², то один нуль: х₁. Якщо вираз ах²+ bх +c на лінійні множники не розкладається на множині дійсних чисел, то квадратична функція у = ах²+ bх +c немає нулів на множині дійсних чисел.

 

7. Як можна знайти координати вершини параболи?

Відповідь: Можна зробити це так: (-b/(2a);–D/ (4a)) або знайти два числа за такими формулами: х_в = -b/(2a);у_в = ах_в ²+ bх_в +c.

8. Як можна знайти координати вершини параболи у формулі: у = а(х - m)² + n?

Відповідь: Можна записати координати вершини параболи так: (m; n).

 

ВЛАСТИВОСТІ КВАДРАТИЧНОЇ ФУНКЦІЇ. МАТЕМАТИЧНИЙ ДИКТАНТ.

Вважайте, що запитання коректні і правильні. Відкорегуйте деякі відповіді.

 

9. Як треба використовувати знак найстаршого коефіцієнта, щоб дізнатися розташування графіка квадратичної функції?

Відповідь: Якщо додатний знак а>0, то парабола з вітками вгору, графік обмежений знизу числом –D/ (4a) і необмежений зверху. Якщо від’ємний знак a<0, то парабола з вітками вниз, і графік обмежений зверху числом –D/ (4a) і необмежений знизу.

10. Як можна знайти проміжки, де квадратична функція додатна?

Відповідь: Якщо квадратична функція додатна на проміжку (а;b), то графік на цьому проміжку лежить тільки вище осі Ох. А взагалі треба розв’язати квадратну нерівність ах²+ bх +c>0довільним способом. Розв’язок цієї нерівності і буде шуканим проміжком.

11. Як можна знайти проміжки, де квадратична функція від’ємна?

Відповідь: Якщо квадратична функція від’ємна на проміжку (а;b), то графік на цьому проміжку лежить тільки нижче осі Ох. А взагалі треба розв’язати квадратну нерівність ах²+ bх +c <0 довільним способом. Розв’язок цієї нерівності і буде шуканим проміжком.

12. Як можна знайти проміжки, де квадратична функція недодатна?

Відповідь: Якщо квадратична функція недодатна на проміжку [а;b], то графік на цьому проміжку лежить не вище осі Ох. А взагалі треба розв’язати квадратну нерівність ах²+ bх +c ≤ 0 довільним способом. Розв’язок цієї нерівності і буде шуканим проміжком.

13. Як можна знайти проміжки, де квадратична функція невід’ємна?

Відповідь: Якщо квадратична функція невід’ємна на проміжку [а;b], то графік на цьому проміжку лежить тільки нижче осі Ох. А взагалі треба розв’язати квадратну нерівність ах²+ bх +c ≥ 0 довільним способом. Розв’язок цієї нерівності і буде шуканим проміжком.

14. Як можна знайти проміжки, де квадратична функція зростає?

Відповідь: Побудувати ескіз графіка квадратичної функції і за графіком визначити проміжок зростання. Якщо а>0, то функція зростає на проміжку [-b/(2a);+оо), . Якщо a<0, то то функція зростає на проміжку ( -оо; -b/(2a)].

15. Як можна знайти проміжки, де квадратична функція спадає?

Відповідь: Побудувати ескіз графіка квадратичної функції і за графіком визначити. Якщо а<0, то функція спадає на проміжку [-b/(2a);+оо). Якщо a>0, то функція cпадає на проміжку ( -оо; -b/(2a)].

16. Як можна знайти проміжки, де квадратична функція у = ах²+ bх +cне існує?

Відповідь: Квадратична функція у = ах²+ bх +c визначена в усіх точках. Тому проміжків, де не визначена квадратична функція не існує. Абопобудувати ескіз графіка квадратичної функції і за графіком визначити.

17. Як можна знайти точки, де квадратична функція має екстремум?

Відповідь: Якщо a<0, то функція не має найменшого значення, тобто мінімуму, але має точку максимуму х_мах = -b/(2a), та максимальний екстремум: у_мах = –D/ (4a). Якщо a>0, то не має найбільшого значення, тобто максимуму, але має функція має точку мінімуму х_min= -b/(2a), та мінімальний екстремум: у_min= –D/ (4a).

 

 



 

Контрольна робота з теми «КВАДРАТНИЙ ТРИЧЛЕН»

Варіант 1.

1.Розкласти на множникивирази: а)d²-1; б) z² + z; в)k²- 4k+ 3; г)4у² –8у+ 4; д) 16– 81p⁴; е)n⁷ – 64n⁴.

2. Виділити квадрат двочлена: а)n²-2n+1; б)3z² + 6z+27; в)k² + 2k+ 12; г) 4p² -16p + 4; д) -m² -m+9.

3. Знайти лише невід’ємні вирази: а)x²+1; б) (z-1)²;; в)-k²+ 4k-9; г)4(2-у)² + 9; д) 16+ 81p²; е)n²– 64n+4.

4. Знайти лише недодатні вирази: а)-y²-1; б)- b²+9;в)-k²-6k-9; г)-9(3-x)² -9;д)-16–81m²;є)-2m²+8m-16.

5.Розв’язати біквадратні рівняння: а) p⁴– 10p²+ 9 = 0; б) a⁴– 5a²+ 4 = 0; в) m⁴ –m²-2 = 0; г) m⁴+6m²+5 = 0.

6.Скоротити дроби і знайти ОДЗ дробу: а)( а²-2а-15)/(5а- а²); б)(4у²+12у-16)/(16 -16у³); в) (z⁴–26z²+25)/(а²-1).

7. Розв’язати рівнянняі знайти ОДЗ:а) 1/а⁴ - 4/а² = 0; б) (3m):(m²-2m+1) + (m+1):(m² – m) = 1:m.

8.Знайти суму квадратів двох чисел, якщо сума цих двох чисел дорівнює 3, а добуток двох чисел дорівнює -40.

9.Моторний човен проплив шлях 48 км за течією річки і повернувся назад, витративши на зворотний шлях на 1 год більше. Знайдіть швидкість течії річки, якщо власна швидкість човна дорівнює 14 км/год.

 

Варіант 2.

1.Розкласти на множникивирази: а)x²-2; б) 4m² + 2m; в)k²- 6k+ 5; г)16у² –16у+ 4; д) 1– 16p⁴; е)n⁷ – 27n⁴.

2. Виділити квадрат двочлена: а)t²-2t+2; б)12g² + 12g+36; в)q² + 2q+ 14; г) 4z² -16z + 8; д) -k² -k+12.

3. Знайти лише невід’ємні вирази: а)а²+2; б) (b-2)²;; в)-k²+ 2k-1; г)4(у+1)² + 9; д)81– 16m²; е)p²– 24p+4.

4. Знайти лише недодатні вирази: а)-y²-2; б)- b²+16;в)-k²+6k-9; г)9x² +9;д)- 1–16m²;є)-2c²+12c-16.

5.Розв’язати біквадратні рівняння: а) х⁴ -5х² +4 = 0; б) c⁴-8c²+15 = 0; в) n⁴ –n²- 6 = 0; г) a⁴+2a²+3 = 0.

6.Скоротити дроби і знайти ОДЗ дробу: а)( а²-10а+9)/(9а- а²); б)( у²-17у+16)/(16 -16у³); в) (z⁴–13z²+36)/(а²-4).

7. Розв’язати рівнянняі знайти ОДЗ:а) ¹/y⁴ -⁹/y² = 0; б) 6:(n²-2n) +12:(n²+2n) = 1:n.

8.Знайти суму квадратів двох чисел, якщо сума цих двох чисел дорівнює -3, а добуток двох чисел дорівнює -28.

9.Моторний човен проплив шлях 72 км за течією річки і повернувся назад, витративши на зворотний шлях на 1 год більше. Знайдіть швидкість течії річки, якщо власна швидкість човна дорівнює 21 км/год.

 

Варіант 3.

1.Розкласти на множникивирази: а)b²-3; б) 3x²-9x; в)m²–7m+8; г)4c² –16c+ 16; д) 1– 16k⁴; е)n⁸–n⁴.

2. Виділити квадрат двочлена: а)b²-3а+3; б) 2m² + 8m+6; в)k² + 2k+ 8; г) 4n² -16n + 2; д) -p² -p+1.

3. Знайти лише невід’ємні вирази: а)а²+3; б)(n-3)²; в)-k²+ 4k-3; г)4у² +27; д) 1– 4p²; е)g²– 64g+36.

4. Знайти лише недодатні вирази: а)-y²-3; б)- b²+3;в)-k²-8k-3; г) -(z -3)²-3;д)-1–9m²;є)-8m²+16m-64.

5.Розв’язати біквадратні рівняння: а) m⁴–17m²+16=0; б) x⁴-8x²+12 =0; в) y⁴ –4y²-5= 0; г) z⁴+3z²+2 = 0.

6.Скоротити дроби і знайти ОДЗ: а)( а²+3а-18)/(6а- а²); б)(4у²-8у-3)/(1 -4у²); в) (z⁴–5z²+6)/(а²-3).

7. Розв’язати рівнянняі знайти ОДЗ:а) 1/q⁴ - 16/q² = 0; б) b:(b-3) + 5:(b+3) = 18:(b²-9).

8.Знайти суму квадратів двох чисел, якщо сума цих двох чисел дорівнює -3, а добуток двох чисел дорівнює -10.

9.Моторний човен проплив шлях 48 км за течією річки і повернувся назад, витративши на зворотний шлях на 2 год більше. Знайдіть швидкість течії річки, якщо власна швидкість човна дорівнює 7 км/год.

 

Варіант 4.

1.Розкласти на множникивирази: а)y²-4; б) 16x² + 4x; в)k² + 3k-4; г)4m² –24m+ 36; д) 16– 81p⁴; е)n⁷ – 64n⁴.

2. Виділити квадрат двочлена: а)n²-4n+4; б) 4z² + 8z+4; в)k² + 2k+ 12; г) 4p² -16p + 16; д) -m² -m+9.

3. Знайти лише невід’ємні вирази: а)а²+4; б)(z-4)²;; в)-k²+ 4k-9; г)8(z-4)² + 9; д) 1– 25p²; е)g²– 64g+4.

4. Знайти лише недодатні вирази: а)-y²-4; б)- b²+9;в)-k²-14k-49; г)-(b -4)²-1;д)-25–64m²;є)-2q²+8q-16.

5.Розв’язати біквадратні рівняння: а) x⁴-13x²+36 = 0; б) y⁴-9y²+14 = 0; в) n⁴ –n²-6= 0; г) k⁴+4k²+3= 0.

6.Скоротити дроби і знайти ОДЗдробу: а)( а²-2а-15)/(5а- а²); б)(4у²+12у-16)/(16 -16у³); в) (z⁴–26z²+25)/(а²-1).

7. Розв’язати рівнянняі знайти ОДЗ:а) 1/а⁴ - 4/а² = 0; б) (3b)/(b²-2b+1) + (b+1)/(b² – b) = 1/b.

8.Знайти суму квадратів двох чисел, якщо сума цих двох чисел дорівнює 1, а добуток двох чисел дорівнює -30.

9.Човен проплив шлях 12 км за течією річки і повернувся назад, витративши на зворотний шлях на 1 год більше. Знайдіть швидкість течії річки, якщо власна швидкість човна дорівнює 5 км/год.

 

Варіант 5.

1.Розкласти на множникивирази: а)m²-5; б) 5z² + 25z; в)k²-5k+ 4; г)9у² –54у+ 81; д) 1– 16b⁴; е)x⁸– 81n⁴.

2. Виділити квадрат двочлена: а)k²-5k+5; б) 5z² + 30z+45; в)k² + 14k+ 25; г) 4n² -10n + 4; д) -z² -z+25.

3. Знайти лише невід’ємні вирази: а)q²+5; б)(z-5)²+5; в)-k²+ 4k-9; г)4у² + 9; д) 36– 81q²; е)x²– 4x+40.

4. Знайти лише недодатні вирази: а)-g²-5; б)- b²+9;в)-k²-10k-25; г)5x² +5;д)- 16–36b²;є)-2m²+8m-16.

5.Розв’язати біквадратні рівняння: а) а⁴ + 10а² – 9 = 0; б) b⁴ + 5b² - 4 = 0; в) x⁴ –2x²- 3= 0; г) z⁴+5z²+4= 0.

6.Скоротити дроби і знайти ОДЗдробу: а)( x²-17x+16)/(x- x²); б)(4у²+12у-16)/(16 -16у³); в) (z⁴–26z²+25)/(а²-1).

7. Розв’язати рівнянняі знайти ОДЗ:а) 1/x⁴ - 25/x² = 0; б) 1:(b²-9) + 1:(3b– b²) = 3:(2b+6).

8.Знайти суму квадратів двох чисел, якщо сума цих двох чисел дорівнює 7, а добуток двох чисел дорівнює -8.

9. Човен проплив шлях 24 км за течією річки і повернувся назад, витративши на зворотний шлях на 2 год більше. Знайдіть швидкість течії річки, якщо власна швидкість човна дорівнює 5 км/год.

 

 

 

 

Контрольна робота з теми «КВАДРАТНИЙ ТРИЧЛЕН»

Варіант 6.

1.Розкласти на множникивирази: а)d²-6; б)36z² +6z; в)k²-6k+5; г)4у² –8у+ 4; д) 16– 81p⁴; е)n⁶– 64n³.

2. Виділити квадрат двочлена: а)n²-6n+6; б)3z² + 6z+27; в)k² + 2k+ 32; г) 4p² -16p + 44; д) -m² -m+69.

3. Знайти лише невід’ємні вирази: а)x²+6; б) (z-6)²;; в)-k²+ 4k-9; г)4(2-у)² + 9; д) 16+ 81p²; е)n²– 64n+4.

4. Знайти лише недодатні вирази: а)-y²-6; б)- b²+6;в)-k²-6k-9; г)-9(3-x)² -9;д)-16–81m²;є)-2m²+8m-16.

5.Розв’язати біквадратні рівняння: а) а⁴- 10а²+ 9 = 0; б) b⁴- 5b²+ 4 = 0; в) y⁴ –y²-2 = 0; г) z⁴+6z²+5 = 0.

6.Скоротити дроби і знайти ОДЗ дробу: а)( а²-2а-15)/(5а- а²); б)(4у²+12у-16)/(16 -16у³); в) (z⁴–26z²+25)/(а²-1).

7. Розв’язати рівнянняі знайти ОДЗ:а) 1/а⁴ - 36/а² = 0; б) (70):(m²-16)-17:(m – 4) = 3m:(m+4).

8.Знайти суму квадратів двох чисел, якщо сума цих двох чисел дорівнює -2, а добуток двох чисел дорівнює -35.

9.Моторний човен проплив шлях 40 км за течією річки і повернувся назад, витративши на зворотний шлях на 1 год більше. Знайдіть швидкість течії річки, якщо власна швидкість човна дорівнює 9 км/год.

 

Варіант 7.

1.Розкласти на множникивирази: а)x²-7; б) 49m² + 7m; в)k²-7k+ 6; г)16у² –16у+ 4; д) 1– 16p⁴; е)n⁵– 27n².

2. Виділити квадрат двочлена: а)t²-7t+7; б)12g² + 12g+36; в)q² + 2q+ 18; г) 4z² -16z + 28; д) -k² -k+72.

3. Знайти лише невід’ємні вирази: а)а²+7; б) (b-2)²;; в)-k²+ 2k-1; г)4(у+1)² + 9; д)81– 16m²; е)p²– 24p+4.

4. Знайти лише недодатні вирази: а)-y²-7; б)- b²+16;в)-k²+6k-9; г)9x² +9;д)- 1–16m²;є)-2c²+12c-16.

5.Розв’язати біквадратні рівняння: а) х⁴ -5х² +4 = 0; б) b⁴-8b²+15 = 0; в) y⁴ –y²- 6 = 0; г) a⁴+7a²+6= 0.

6.Скоротити дроби і знайти ОДЗ: а)( а²-10а+9)/(9а- а²); б)( у²-17у+16)/(16 -16у³); в) (z⁴–13z²+36)/(а²-4).

7. Розв’язати рівнянняі знайти ОДЗ:а) ¹/y⁴ -⁴⁹/y² = 0; б) 2:(4-n²)-1:(2n-4) = 7: (2n²+4n).

8.Знайти суму квадратів двох чисел, якщо сума цих двох чисел дорівнює -3, а добуток двох чисел дорівнює -54.

9. Човен проплив шлях 36 км за течією річки і повернувся назад, витративши на зворотний шлях на 3 год більше. Знайдіть швидкість течії річки, якщо власна швидкість човна дорівнює 5 км/год.

 

Варіант 8.

1.Розкласти на множникивирази: а)b²-8; б) 64x²-8x; в)m²–8m+7; г)4c² –16c+ 16; д) 1– 16k⁴; е)n⁶–n⁸.

2. Виділити квадрат двочлена: а)b²-8а+8; б) 2m² + 8m+6; в)k² + 2k+ 8; г) 4n² -16n + 2; д) -p² -p+53.

3. Знайти лише невід’ємні вирази: а)а²+8; б)(n-3)²; в)-k²+ 4k-3; г)4у² +27; д) 1– 4p²; е)g²– 64g+36.

4. Знайти лише недодатні вирази: а)-y²-8; б)- b²+3;в)-k²-8k-3; г) -(z -3)²-3;д)-1–9m²;є)-8m²+16m-64.

5.Розв’язати біквадратні рівняння: а) m⁴–17m²+16=0; б) x⁴-8x²+12 =0; в) y⁴ –4y²-5= 0; г) z⁴+8z²+7 = 0.

6.Скоротити дроби і знайти ОДЗ: а)( а²+3а-18)/(6а- а²); б)(4у²-8у-3)/(1 -4у²); в) (z⁴–5z²+6)/(а²-3).

7. Розв’язати рівнянняі знайти ОДЗ:а) 1/q⁴ - 64/q² = 0; б) 2:(b²+5b) + 3:(2b-10) = 15:(b²-25).

8.Знайти суму квадратів двох чисел, якщо сума цих двох чисел дорівнює 5, а добуток двох чисел дорівнює -18.

9.Човен проплив шлях 18 км за течією річки і повернувся назад, витративши на зворотний шлях на 4 год більше. Знайдіть швидкість течії річки, якщо власна швидкість човна дорівнює 6 км/год.

 

Варіант 9.

1.Розкласти на множникивирази: а)y²-9; б) 16x² + 4x; в)k² + 9k-18; г)4m² –24m+ 36; д) 36– 81p⁴; е)n⁹– 64n⁶.

2. Виділити квадрат двочлена: а)n²-9n+9; б) 4z² + 8z+4; в)k² + 2k+ 12; г) 4p² -16p + 16; д) -m² -m+91.

3. Знайти лише невід’ємні вирази: а)а²+9; б)(z-9)²;; в)-k²+ 4k-9; г)8(z-4)² + 9; д) 1– 25p²; е)g²– 64g+4.

4. Знайти лише недодатні вирази: а)-y²-9; б)- (z -9)²+9;в)-k²-14k-49; г)-(b -4)²-1;д)1–81m²;є)-2q²+8q-16.

5.Розв’язати біквадратні рівняння: а) x⁴-13x²+36 = 0; б) y⁴-9y²+14 = 0; в) n⁴ –3n²-10= 0; г) k⁴+9k²+8= 0.

6.Скоротити дроби і знайти ОДЗдробу: а)( а²-2а-15)/(5а- а²); б)(4у²+12у-16)/(16 -16у³); в) (z⁴–26z²+25)/(а²-1).

7. Розв’язати рівнянняі знайти ОДЗ:а) 1/а⁴ - 81/а² = 0; б) 5:(2b+6)-1:(6b²-18b)+ 29:(3b²-27) = 0.

8.Знайти суму квадратів двох чисел, якщо сума цих двох чисел дорівнює 6, а добуток двох чисел дорівнює -16.

9.Човен проплив шлях 12 км за течією річки і повернувся назад, витративши на зворотний шлях на 1 год більше. Знайдіть швидкість течії річки, якщо власна швидкість човна дорівнює 5 км/год.

 

Варіант 10.

1.Розкласти на множникивирази: а)m²-10; б) 5z² + 25z; в)k²-10k+16; г)9у² –54у+ 81; д) 1– 16b⁴; е)x⁸– 81n⁴.

2. Виділити квадрат двочлена: а)k²-10k+10; б) 5z² + 30z+45; в)k² + 18k+ 81; г) 4n² -10n + 54; д) -z² -z+29.

3. Знайти лише невід’ємні вирази: а)q²+10; б)-z²-9; в)-k²+ 4k-9; г)4у² + 9; д) 36– 81q²; е)x²– 4x+40.

4. Знайти лише недодатні вирази: а)-g²-10; б)- b²+9;в)-k²-10k-25; г)5x² +5;д)- 16–36b²;є)-2m²+8m-16.

5.Розв’язати біквадратні рівняння: а) c⁴ + 10c² – 9 = 0; б) q⁴ + 5q²+6 = 0; в) y⁴ –4y²-5 = 0; г) z⁴+10z²+9 = 0.

6.Скоротити дроби і знайти ОДЗдробу: а)( x²-17x+16)/(x- x²); б)(4у²+12у-16)/(16 -16у³); в) (z⁴–26z²+25)/(а²-1).

7. Розв’язати рівнянняі знайти ОДЗ:а) 1/x⁴ - 100/x² = 0; б) 1:(b²-9) + 1:(3b– b²) = 3:(2b+6).

8.Знайти суму квадратів двох чисел, якщо сума цих двох чисел дорівнює 7, а добуток двох чисел дорівнює -8.

9. Човен проплив шлях 24 км за течією річки і повернувся назад, витративши на зворотний шлях на 2 год більше. Знайдіть швидкість течії річки, якщо власна швидкість човна дорівнює 5 км/год.

 

 



Графіки та властивості квадратичної функції

Варіант 1

1. Встановити відповідність між формулами, що задають функцію та назвами їх графіків.

   1.	у = - х +3;	А.	промінь;
   2.	у = х2- 2х -1;	Б.	пряма;
   3.	у = -2 : х.	В.	парабола;
   		Г.	гіпербола;
   		Д.	власна відповідь.

2. Встановити відповідність між формулами, що задають функцію та точкою на їх графіках.

   1.	у = - 2х;	А.	(1; -2);
   2.	у = -2х2- 2х -1;	Б.	(-1; -5);
   3.	у = -2 : х.	В.	(1; -5);
   		Г.	(-1; 2);
   		Д.	власна відповідь.

3. Встановити відповідність між формулами, що задають функцію та її нулем на графіку.

   1.	у = - 3х + 9;	А.	(-3; 0);
   2.	у = -2х2- 14х +12;	Б.	(3; 0);
   3.	у = -2 : х.	В.	(1; 0);
   		Г.	немає нулів;
   		Д.	власна відповідь.

4. Встановити відповідність між формулами, що задають квадратичну функцію та її координатами вершини параболи.

   1.	у = 4х - х2;	А.	(2; -2);
   2.	у = -18 - 2х2;	Б.	(-3; 0);
   3.	у = -х2- 4х -4.	В.	(0; 0);
   		Г.	(2; 4);
   		Д.	власна відповідь.

5. Встановити відповідність між формулами, що задають функцію та їх проміжками зростання.

   1.	у = х - х2;	А.	(-; 0,5);
   2.	у = -8 + 2х2;	Б.	(-2; 2);
   3.	у = - х2- 6х -9.	В.	(0; +);
   		Г.	(-; -3);
   		Д.	власна відповідь.

6. Встановити відповідність між формулами, що задають функцію та проміжками, де вона невід’ємна.

   1.	у = х - х2;	А.	(-; );
   2.	у = -8 - 2х2;	Б.	[-2; 2];
   3.	у = - х2- 6х -9.	В.	[0; 1];
   		Г.	(-2; 2);
   		Д.	власна відповідь.

7. Дослідити функцію у = - х²+ 4х -12 на властивості та побудувати її графік.

8. За трьома точками квадратичної параболи відновити формулу квадратичної функції, якщо координати точок параболи (0; 14); (7; 2); (2; 7).

9. Побудувати графік у = |- х²+ 4|х| -3|.

 

Графіки та властивості квадратичної функції

Варіант 2

1. Встановити відповідність між формулами, що задають функцію та назвами їх графіків.

   1.	у = - 2х +3;	А.	відрізок;
   2.	у = х2- 8х -16;	Б.	квадрат;
   3.	у = -4 : (х-3).	В.	парабола;
   		Г.	гіпербола;
   		Д.	власна відповідь.

2. Встановити відповідність між формулами, що задають функцію та точкою на їх графіках.

   1.	у = - 2+х;	А.	(1; -2);
   2.	у = -х2- 2х -1;	Б.	(-1; 0);
   3.	у = -5 : х.	В.	(1; -5);
   		Г.	(0; -2);
   		Д.	власна відповідь.

3. Встановити відповідність між формулами, що задають функцію та її нулем на графіку.

   1.	у = - 3х + 6;	А.	(2; 0);
   2.	у = -2х2- 16х +40;	Б.	(-8; 0);
   3.	у = -6 : х.	В.	(-2; 0);
   		Г.	немає нулів;
   		Д.	власна відповідь.

4. Встановити відповідність між формулами, що задають квадратичну функцію та її координатами вершини параболи.

   1.	у = -4х + х2;	А.	(2; -2);
   2.	у = -18 - 2х2;	Б.	(-3; 0);
   3.	у = -х2- 4х -4.	В.	(0; 0);
   		Г.	(2; -4);
   		Д.	власна відповідь.

5. Встановити відповідність між формулами, що задають функцію та їх проміжками зростання.

   1.	у = х - 1;	А.	(-; );
   2.	у = -8 + 2х2;	Б.	(-2; 2);
   3.	у = - х2- 6х -9.	В.	(0; +);
   		Г.	(-; -3);
   		Д.	власна відповідь.

6. Встановити відповідність між формулами, що задають функцію та проміжками, де вона не додатна.

   1.	у = - х + х2;	А.	(-; );
   2.	у = -8 + 2х2;	Б.	[-2; 2];
   3.	у = -х2- 6х - 9.	В.	[0; 1];
   		Г.	(-2; 2);
   		Д.	власна відповідь.

7. Дослідити квадратичну функцію у = - х²+ 6х +16 на властивості та побудувати її графік.

8. За трьома точками квадратичної параболи відновити формулу квадратичної функції, якщо координати точок параболи: (0; -15); (5; 4); (-3; 4).

9. Побудувати графік у = |- х²+ 5|х| - 4|.

 

 

ПАРАМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ                                        

 

Вправи

1.Розв’язати параметричні рівняння з невідомим дійсним значенням х та дійсним параметром а.

I.  A)ax = 0;   б)9ax = а³;   в)(a-5)x = а² - 25;   г)ax = а³;

II.  A)(a² - 6a + 5)x = a-1;    Б)   (a² - 4a + 3)x = (a-3)(а-1);

3.  A)(^a/_|a| -1)x = 0;   б)(^a/_|a| -1)x = ( 2 - ^|a|/_|0,5a| );   в)ax² = 0;   г)ax³ = а⁴;

2.Розв’язати параметричні рівняння з невідомим дійсним значенням х та дійсним параметром а.

I.  f(a)p(x) = g(а), якщо   f(а) = g(а)=4а² -9а⁴,   p(x) = х.

II.  n(m(a))k(x) = m(а), якщо   n(а) = m(а)=1 – 2a,   k(x) = х².

3.Розв’язати параметричні рівняння з невідомим дійсним значенням х та дійсним параметром а.

I. 24   a)(3-a)x =9a- а³;   b) (a-1)x = а² - 1;   c)(|a|-a)x = а³;

1.25  (x-2)/(x + a) = 0

1.26  (x)^0,5 = - a

1.27 (x-a)(x-1)^0.5=0

1.28 |x|*|x-a|=0

1.29 (x-a) / (x²-4x+3)=0

1.30 (x²-4x+3)/(x-a)=0

Розв’язати нерівності (1.31-1.36).

1.31 |x+3| > -a⁶

1.32 a(x)^0.5 > 0

1.33 a(x)^0.5 <  0

1.34 a2^x < a²

1.35 a² 2^x > a

1.36 x² – 2x+2^|a| > 0

1.37 При яких а рівняння (a+4)x² + 6x – 1= 0 має одне рішення

1.38 при яких а рівняння (2a+8) x²-(a+4)x+3=0 має одне рішення

1.39 При яких а рівняння

       a) (a+6) x²- 8x+a=0

       b) a(2a+4) x²-(a-2)x-5a-10=0

       має більше одного рішення

1.40 Знайти всі значення параметра а, при яких графіки функції у = (а+5)х² -7 і у = (3а+15)х-4 не мають спільних точок.

1.41 При яких а нерівності (х-а) (х+3)^0.5 < 0 має єдине рішення

1.42 Знайти всі значення а,  при яких рівняння

   а) (x-a) log₂x=0

  б) (x-3) log₂a=0

  в) (x-a) arccos (x+3)=0

  г) (x-1) arccosa=0

має єдине рішення

1.43При яких а розв’язання нерівності (х-а)² (х+4)>0  з’являється промінь

1.44 При яких а з нерівностей 2x-a>0 являє впорядкована нерівність х+2а-3>0

 

1.45 При яких а з нерівностей 0<х<1слідує нерівність х²-а²<0

 

 

 

Дії з квадратними тричленами

 

Означення. Два квадратні тричлени

f(x) = а₁х² + b₁x + c₁ 

та  

 g(x) = а₂х² + b₂x + c₂

 рівні, якщо рівні їхні коефіцієнти при х², рівні їхні коефіцієнти при х і вільні члени обох тричленів теж рівні, тобтоякщо

а₁= а₂,

b₁= b₂,

c₁= c₂,

то 

f(x) = g(x).

 

Дії з квадратними тричленами.

 

Означення. Сумою двох  квадратних тричленів

f(x) = а₁х² + b₁x + c₁ 

 та   

g(x) =а₂х² + b₂x + c₂

називають третій квадратний тричлен,

s(x) = f(x) +  g(x) =S₂х² + S₁x + S₀

коефіцієнти якого отримують  додаванням відповідних коефіцієнтів при  х²,  при х і  вільний член(при х⁰) отримують   додаванням обох вільних членів даних тричленів, тобто

S₂ =  а₁ + а₂,

S₁ =  b₁ + b₂,

S₀ =  c₁ + c₂.

 

Означення. Добутком двох  квадратних тричленів

f(x) =  а₁х² + b₁x + c₁

та

g(x) = а₂х² + b₂x + c₂

 називають  многочлен четвертого степеня

p(x) = f(x)g(x) = P₄х⁴ + P₃x³ + P₂х² + P₁x + P₀,

 коефіцієнти якого, отримують із коефіцієнтів квадратних тричленів за правилами:

P₄ = а₁а₂ 

P₃ = а₁b₂ + а₂b₁

P₂ = а₁c₂ + а₂c₁ + b₁b₂

P₁ = c₂b₁ + c₁b₂

P₀ = c₁c₂

 

Алгоритм ділення многочленів з остачею

 

Для будь-яких многочленів

f(x) = а₁х² + b₁x + c₁ 

 та   

g(x) =b₂x + c₂

існує частка

q(x)

 і такі, що

f(x)=g(x)q(x)+r(x),

при цьому степінь r(x) менше степені

g(x) або  r(x) = 0.

Многочлени g(x) і r(x) визначені однозначно.

Частку і остачу  знаходять за допомогою письмового ділення «куточком».

 

Дільники многочлена

 

Означення. Дільник квадратного тричлена f(x)– це лінійний або 

квадратний многочлен, g(x), такий, що

f(x) = g(x)q(x).

         Означення. Найбільший спільний дільник многочленів f(x) и g(x) - такийїх спільний дільник d(x), який ділиться на довільний другий їхспільний дільник.

Інтерполяційна формула Лагранжа

для квадратного тричлена

 

Дано три точки

(x₁; у₁),  (x₂; у₂), (x₃; у₃).

невідомого квадратного тричлена

ах² + bx + c,

тоді можна записати квадратний тричлен за допомогою формули Лагранжа:

f(x) =ах² + bx + c =

= y₁(x-x₂) (x-x₃)/(x₁ –x₂)(x₁ –x₃) +

+ y₂(x-x₁) (x-x₃)/(x₂ – x₁)(x₂ –x₃) +

+ y₃(x-x₂) (x-x₁)/(x₃ –x₁)(x₃ -x₂)

 

Приклад. Знайти коефіцієнти квадратного тричлена і записати його в стандартному вигляді, якщо відомі абсциси і ординати тільки для трьох точок: x₁ = 1; x₂ = 3; x₃ = 4; y₁ = 2; y₂ = -2; y₃ = -1.

 

Розв’язання. Скористаємося інтерполяційною формулою Лагранжа для квадратного тричлена:

f(x) = ах² + bx + c =  y₁(x-x₂) (x-x₃)/(x₁ –x₂)(x₁ –x₃) + y₂(x-x₁) (x-x₃)/(x₂ – x₁)(x₂ –x₃) + y₃(x-x₂) (x-x₁)/(x₃ –x₁)(x₃ -x₂) =

= 2(x-3)(x-4)/(1 –3)(1 – 4) - 2(x-1)(x-4)/(3 – 1)(3 –4) -1(x-3)(x-1)/(4 – 1)(4 -3) = х² - 6x + 7.

 

 

        

Рівень Б

53.А) y = |x|²;  Б) |y| =x²;  В) |х| = у²; 

54.А) y = 4 –|x|²;  Б) |y| =|4-x²|; 

55.А) y = – x² +|x|; Б) |y|=|– x² +|x||;

56.А) y =x²–2|x|; Б)|y|=|x²–2|x||;

57.А) y = – 0,5|x|²; Б) |y|=– 0,5|x|²;

58.А) y = x² –5|x| + 6; Б) |y| =|x² –5|x| + 6|;    

59.А) y = – x² + 5|x| - 4; Б) |y| = – x² + 5|x| - 4;   

60.А) х = |у|² +2|у| + 1; 

61.А) х = – 2(|у| + 1)²; 

62.y =  (|x| + 1)² - 4 ;

63.y = – (2–|x|)²;

64.y = –|x|² + 3;

65.y = |x²– 4| + 3;

66.y = –2|1 – x²|+1;        

67.y = |x²| + |x² – 4|– 3x;

68.y = 2 –|4– |x||; 

69.y = |x² – 4|–|2 – x| + 2 – x² ;

70.y = 2||x² + 4| – 1|– 3;

71.y = –3|x²+1|+4|1–x²|;

72.y = 2|x² – 3|–|3– 2x²| ;

73.|4–x²|= |y|;

74.  |9–x²| = |y|;

75.|1–x²| = |y|;

76. |y| = 4 –|2– |x||;

Рівень В

77.      (|y|– 4)(2 –|x|) = 0;

78.      |y – 3|(4 –|x – 2|) = 0;

79.      |y + 1|  = 4 +|x - 3|;

80.      |y + х²|(4 +|x² + у|) = 0;

81.       |y – х²|  = 4 +|x² – у|;

82.      2–| - х²–y|  = |–у – x²|;

83.      |y| + x² = 2;

84.      |y|–|x²| = 0;

85.      |y – 3|  + |x² – 1| = 4;

86.      |y + 4| + |x + 3|² = 5;

87.       |y|  –|x|² = – 3|х|;|

88.      2|y|  + 3|x| = 4х²;

89.      |y|² +  4y + 4 = 2- x² - 2|x|;

90.      |y + 1| – x² = y–|x– 1|;

91.      –(|2 –y|– 1)+y =  (x²+|3 –x|);

92.       –2(|y|–1)+y = –3(x²+|x|);

93.      (2x² – 6у)(y– 2,1) = 0;         

94.      (3x² – 12)(0,4x² - 0,4y + 0,6) = 0;             

95.      0∙(0,5x²–  4)∙(5 + 4y) = 0;

96.      (–0,6y – 0,4|x|)(y– x² + 3) = 0;      

97.       (–1 –|y|)(–1 – 2|х|²) = 0;            

98.       (–2|x²| + |y|)(2x–|y|)= 0;

99.           0∙|y - у|∙(–|x² – 2| + 6 ) = 0;              

100.       (2x² – 8)(3 – 0,5|y|) = 0;                  

101.        –3(2x² – |y|)∙(x² – 1)∙(5–y) = 0;

102.       (|5 – y|):(|x² + у|– 1) = 0;              

 

ЗРАЗКИ   ПОВНИХ   КВАДРАТНИХ    РІВНЯНЬ

 

Приклад 1. Розв'язати рівняння:

2х² + 3х + 1 = 0.

Розв'язання.     1) Маємо повне квадратне рівняння:

2х² + 3х + 1 = 0.

Напочатку визначимо усі коефіцієнти квадратного рівняння:

а = 2; b = 3; c = 1.

 Знайдемо   дискримінант квадратного рівняння

D = b² – 4ac = 3×3 - 4×2×1 = 9 – 8 = 1.

Так як дискримінант квадратного рівняння дорівнює додатньому числу, то дане рівняння має два різних корені. Знайдемо ці корені

 х₁ = (-b - D^0,5 ):(2a) =( - 3 - 1^0,5 ) : (2×2) = - 4:4 = 1;

х₂ = (-b + D^0,5 ):(2a) =( - 3 + 1^0,5 ) : (2×2) = - 2:4 = - 1:2 = - 0,5.

Відповідь: {1;- 0,5}.

Приклад 2. Розв'язати рівняння:

-9х² + 6х - 1 = 0.

Розв'язання.     1) Маємо повне квадратне рівняння:

-9х² + 6х - 1 = 0.

Напочатку визначимо усі коефіцієнти квадратного рівняння:

а = - 9; b = 6; c = -1.

 Знайдемо   дискримінант квадратного рівняння

D = b² – 4ac = 6×6 - 4×(-9)×(-1) = 36 – 36 = 0.

Так як дискримінант квадратного рівняння дорівнює нулю, то дане рівняння має один корінь. Знайдемо цей корінь

 х₁ = (-b - D^0,5 ):(2a) = ( - 6 - 0^0,5 ) : (2×(-9)) = - 6:(-18) = 1/3;

Відповідь: {1/3}.

Приклад 3. Розв'язати рівняння:

х² - 2х + 7 = 0.

Розв'язання.     1) Маємо повне квадратне рівняння:

х²  - 2х + 7 = 0.

Напочатку визначимо усі коефіцієнти квадратного рівняння:

а = 1; b = -2; c = 7.

 Знайдемо   дискримінант квадратного рівняння

D = b² – 4ac = (-2)×(-2) - 4×(1)×(7) = 4 – 28 = - 24.

Так як дискримінант квадратного рівняння дорівнює нyлю, то дане рівняння немає розв’язку, тобто немає коренів.

Відповідь: немає коренів.

Вправи для самостійного розв’язання.

1) -х² + 12х + 1 = 0;  2) -2х² - 7х + 4 = 0;  3) х² - х + 56 = 0;

4) 3х² + 5х + 2 = 0;  5) х² - 10х - 24 = 0;  6) 2х² + 7х - 4 = 0;

7) х² - 6х + 9 = 0;  8) 0,5х² – 2,5х - 4 = 0;  9) х² - 4х + 5 = 0;

10) -5х² - 2х + 7 = 0;  11) 8х² - 6х + 2 = 0; 12) 7х² - 5х + 2 = 0.

 

 

 

Задачі на складання  квадратних рівнянь

1) Два косарі, працюючи разом, викосили ділянку поля за 7 год 30 хв. Коли б вони працювали разом лише 3 години, а потім перший косар припинив роботу, то другий скосив би решту ділянки за 7 год. 12 хв. За скільки годин кожен косар окремо міг би викосити всю ділянку ?

2)Деяку роботу 2 бригади, працюючи разом, виконали за 12 днів. За скільки днів усю цю роботу виконала б кожна бригада окремо, якщо першій бригаді на це потрібно на 18 днів менше, ніж другій ?

3)Дві друкарки, працюючи разом, виконали певну роботу за 3 години 45 хвилин. Коли б вони працювали разом 3 год. , а потім друга друкарка припинила роботу, у першій для виконання решти роботи необхідно було б 1 год. 12 хв. За скільки годин кожна друкарка окремо могла б виконати всю роботу ?

4)Відстань630 кмпасажирський потяг проходить на 2 год. швидше, ніж товарний. Знайти швидкість товарного потяга, якщо вона на20 км/годменша, ніж швидкість пасажирського.

5)Пасажирський і вантажний поїзди виїхали назустріч один одному з двох міст, відстань між якими450 км. Пасажирський поїзд проходить за годину5,5 кмбільше, ніж вантажний. Яка швидкість кожного поїзда, якщо через 3 год. 20 хв. після виходу їм залишилося проїхати до зустрічі25 км?

6)Відстань560 км. вантажний автомобіль долає на 1 год. довше, ніж легковий. Знайти швидкість вантажного автомобіля, якщо вона на10 км/годменша, ніж швидкість легкового автомобіля.

7)Двоє мулярів, виконуючи певне завдання разом могли б закінчити йогои за 3 дні. Якщо спочатку буде працювати тільки один з них, а коли виконає половину всієї роботи, його замінить другий робітник, то все завдання буде закінчено за 8 днів. За скільки днів кожен муляр міг би виконати все завдання ?

8)Перший робітник, працюючи один, може виконати деяку роботу за 8 днів, а другий – за 12 днів. До виконання роботи обидва робітники приступили одночасно і попрацювали разом декілька днів, після чого другий робітник був переведений на іншу роботу. Решту роботи перший робітник закінчив за три дні. Скільки всього днів працював перший робітник ?

9)Перший робітник, працюючи один, виконує всю роботу за 40 год., а другий – за 60 год. За скільки годин буде зроблено всю роботу, якщо робітники працюватимуть разом ?

10)Двоє робітників виконують певне завдання за12 днів. Якщо половину роботи буде виконувати один робітник, а решту – другий, то все завдання буде виконане за 25 днів. За скільки днів кожний робітник окремо виконає все завдання ?

 11) Бригада трактористів повинна була щодня виорювати по 20 га землі. Однак вона виорювала щодня по 25 га, тому закінчила оранку на 4 дні раніше. Скільки землі виорала бригада?

12)  Дві труби, працюючи одночасно, наповнюють басейн за 12 годин. Перша труба наповнює басейн на    

                 12 годин швидше, ніж друга. За скільки годин наповнює басейн друга труба?

13) Скільки чистого спирту треба додати до 735 г шістнадцяти-процентного розчину йоду в спирті, щоб одержати десятипроцентний розчин ?

 14) Басейн наповнюється водою двома трубами за 6 годин. Одна перша труба наповнює його на 5 годин швидше, ніж одна друга. За який час кожна труба, діючи окремо, може заповнити басейн.

 15) Через першу трубу басейн наповнюється за 60 хв, а через другу – за 30 хв. За який час наповниться басейн, якщо відкрити обидві труби одночасно.

16) З двох станцій, відстань між якими 400 км, вирушили назустріч один одному два поїзди і зустрілися на середині дороги. Перший поїзд вийшов на 1 годину пізніше, ніж другий із швидкістю на     10 км / год більшою, ніж швидкість другого поїзда. Знайдіть швидкість кожного поїзда.

 17) Два робітники за 5 днів спільної роботи виконали 75 % всієї роботи. За скільки днів може виконати все завдання кожний робітник, якщо перший із них виконує цю роботу на 3 дні швидше, ніж другий.

18) Змішали 30 % розчин соляної кислоти з 10 % і одержали 600 г     15 % - го розчину. Скільки грамів кожного розчину було взято?

19)Відстань між двома містами 480 км. Пасажирський поїзд проходить її на 4 години швидше, ніж товарний. Якщо швидкість пасажирського поїзда збільшити на 4 км / год., а швидкість товарного – на 8 км / год ., то пасажирський поїзд пройде всю відстань на 2,5 години швидше, ніж товарний. Яка швидкість кожного поїзда ?

20) Бригада робітників повинна виготовити 360 деталей. Виготовляючи щоденно на 4 деталі більше, ніж передбачалося за планом, бригада виконала завдання на 1 день раніше запланованого терміну. Скільки днів витратила бригада на виконання всього завдання?

 

 21) Маємо два сплави золота і срібла; в першому сплаві кількість цих металів знаходиться у відношенні 2 : 3, а в другому – у відношенні 3 : 7. Скільки треба взяти кожного сплаву, щоб одержати 8 кг нового сплаву, в якому золото і срібло було б у відношенні 5 : 11 ? 

22) При спільній роботі двох тракторів різної потужності поле було зоране за 6 годин. Якби половину поля зорати одним трактором, а другу – іншим трактором, то вся робота буде закінчена за 12 год. 30 хвилин. За скільки годин можна було б зорати поле кожним трактором окремо?

23) Для пошиття 16 пальт і 15 костюмів витрачено 85 м сукна. Якщо пальт пошити більше на 25 %, а костюмів – на 20 %, то для їх пошиття буде витрачено 104 м сукна. Скільки сукна пішло для пошиття одного пальта і одного костюма?

24) З двох міст, відстань між якими 560 км, одночасно назустріч один одному виїхали два автомобілі і зустрілися через 3 години   44 хвилини. Перший автомобіль проходить весь шлях на 1 годину довше, ніж другий. Яка швидкість кожного автомобіля?

25) Перший трактор, працюючи сам, може зорати ділянку землі за 9 годин, а другий трактор – за 6 годин. За який час буде зорано цю ділянку, якщо трактори працюватимуть одночасно.

26) Два робітники виконують роботу за 4 дні. Якщо один виконає половину роботи, а другий – решту, то робота буде закінчена за    9 днів. За скільки днів виконає цю роботу кожний робітник окремо?

27) Один трактор за 5 годин зорав половину поля. Після цього до роботи приступив другий трактор. Два трактори, працюючи разом, закінчили роботу за 3 години. Яка площа ділянки, якщо другий трактор зорює 8 га за 1 годину?