МОН України | Департамент освіти ВМР | Департамент освіти і науки Вінницької ОДА | Освітній портал
Ви Гість.

Компетентнісні задачі

Останнє редагування: 2017-05-02

Автор: Негода Сергій Петрович



Многочлени!!!

 

Задача. Знайти всі такі многочлени Рn(х) та Qm(х) (які не дорівнюють постійним числам), що задовольняють рівність:

Р2n(х)+ Q2m(у)= Рn(у2)+ Qm(х2)       (*)

 

Розв’язання. Будь-який многочлен можна розкласти на множники на полі комплексних чисел.

Рn(х)=(х-р1)(х-р2)(х-р3)… (х-рn-2)(х-рn-1)(х-рn)

Рn(у2)=(у2-р1)(у2-р2)(у2-р3)… (у2-рn-2)(у2-рn-1)(у2-рn)

Р2n(х)=(х-р1)2(х-р2)2(х-р3)2… (х-рn-2)2(х-рn-1)2(х-рn)2

 

Qm(х)=(х-q1)(х-q2)(х-q3)… (х-qm-2)(х-qm-1)(х-qm)

Qm(х2)=(х2-q1)(х2-q2)(х2-q3)… (х2-qm-2)(х2-qm-1)(х2-qm)

Q2m(у)=(у-q1)2(у-q2)2(у-q3)2… (у-qm-2)2(у-qm-1)2(у-qm)2

 

 

Розведемо змінні х та у по різним сторонам рівності, отримаємо:

Р2n(х) - Qm(х2)= Рn(у2) - Q2m(у)

Многочлени( це неперервні функції)від різних змінних рівні між собою, це можливо, якщо одночасно виконуються рівності:

Р2n(х) - Qm(х2)= 0,   тому Р2n(х)= Qm(х2)

Рn(у2) - Q2m(у) = 0,   тому Рn(у2)= Q2m(у)

Рівність різно іменних многочленів означає, що

у многочленів Р2n(х)  та Qm(х2) – рівні між собою усі нулі(корені), тобто будь-який корінь  ще задовольняє умову:

(х-qі)2 =(х2-qі);

  х2-2хqі+qі2= х2-qі;

qі2 - хqі = 0;

(qі – х)qі = 0;

qі = х,  - не задовольняє умови, бо многочлен не є константою

qі = 0;

Отже,  два многочлени мають тільки нульові корені, тому

вони записуються  у вигляді:  Рk(х)= Qk(х)= хk, деk – натуральне число. Безпосередня перевірка многочленів  виконується для рівності (*).

Відповідь: Рk(х)= Qk(х)= хk, де  k – натуральне число.

 

 

 

   Приклад знаходження обернених функцій.

Знайти лінійну функцію  р(х)

                                р(f(х)) = х,

якщо f(х)= - 4х + 3.

Розв’язання:

   Спочатку з’ясуємо, чи дана функція може мати обернену. Якщо припустити, що дана функція немає оберненої, то повинні існувати такі значення х1¹ х2, для яких  f(х1)=f( х2). Тоді -4х1+3=-4х2+3 звідки х1  =  х2. Дане протиріччя доводить, що дана функція має обернену.

   Розпочнемо конструювати взаємно обернену функцію. Нехай  у=-4х+3. Замінимо х на  у. А потім виразимо у через х.

х = -4у + 3,   звідси    -4у = х - 3,

остаточно       у = -0,25х + 0,75.  

   Таким чином,

 f(х)= -4х + 3 та р(х) = -0,25х + 0,75. Виконаємо перевірку.

р(f(х))= -0,25(-4х + 3) + 0,75 = х - 0,75 + 0,75 = х.

  Області визначення та області значення обох функцій становлять множину дійсних чисел.

 

 

 


Найпростіші   функціональні   рівняння

 

 

                                  

ЗМІСТ

 

1. Функціональні рівняння. 

2. Знаходження та побудова композицій  елементарних функцій.     

3. Знаходження розв’язку функціональних   рівнянь лінійного  виду.       

4. Знаходження розв’язків функціональних  рівнянь у вигляді многочленів.      

5. Метод   підстановок.        

6. Практикум з розв’язування функціональних рівняння.

7.Застосування способів розкладу на множникидля знаходження розв’язку функціонального  рівняння  з двома невідомими функціями.   

8. Функціональні рівняння квадратного виду.        

9. Застосування поняття групи для знаходження   розв’язку функціонального рівняння.        

10. Застосування  математичного аналізу      для   розв’язування  функціональних рівнянь.    

 

Функціональні  рівняння

 

 

     1.Функціональні  рівняння

 

 

  Досить часто на практиці виникають рівняння, в яких  невідомою величиною є деяка функціяз певними властивостями. Такі рівняння називають функціональні.

 Перші функціональні рівняння виникли при розв’язуванні деяких задач з механіки, а математики досліджували їх ще у ХVIII - ХIХ  століттях. Такі визначні математики, як Леонард Ейлер, Карл Гаусс, Микола Лобачевский, та інші не раз зверталися до таких рівнянь у своїх наукових працях. Наприклад, засновник неевклідової геометрії Микола Іванович Лобачевский використав функціональне рівняння

f(x) = (f(x+y)f(x-у))0,5

для означення кута паралельності. Леонард Ейлер застосовував такі рівняння при розв’язуванні диференціальних рівнянь в частинних похідних.

Функціональне рівняння

f(x+y)-f(x-у)=2f(y)f(x)

має цікаве застосування в механіці, зокрема для обґрунтування закону додавання сил.

     Часто математики використовують функціональні рівняння для аналітичного обґрунтування побудов різних функцій, наприклад, показникової, логарифмічної, тригонометричних. Бо цей підхід має переваги перед геометричним, що обумовлено вибором різних геометрій, адже він є законним як в евклідовій, так і неевклідовій аксіоматиці.

   Ще двісті років тому великий вклад в теорію розв’язування  вніс французький математик Огюстен Коші (1789-1857). На честь нього названо одне з найвідоміших функціональних рівнянь

f(x+y)=f(x)+f(y),                                 (1)

котре  має розв’язком будь-яку адитивну функцію. Наприклад, лінійна однорідна функція

f(x)= ах                                               (2)

являється розв’язком цього рівняння. Покажемо, що ця функція справді  являється розв’язком рівняння (1).

Праву та ліву частини рівняння (1) можна записати:

f(x)+ f(у) = ах+ау     та    а(х+у) = f(x+y)

Так як ліві частини останніх двох рівностей рівні, бо

ах+ау= а(х+у),

то отримуємо рівність для правих частин:

f(x+y)=f(x)+f(y).

     Зауважимо, що множина адитивних функцій не обмежуються лише множиною лінійних однорідних  функцій.  Німецький математик   Г.Гамель (1877-1954) сконструював адитивну функцію, котра не входила до множини лінійних однорідних функцій. Основна властивість гамелевої знахідки полягала в тому, що вона не обмежена зверху на довільному інтервалі. Прикро, але результат Гамеля настільки складний, що навести його немає змоги.

      Рівняння Коші (1)  використовується у проективній геометрії та теорії ймовірностей.

     У шкільній математиці учні  неявно зустрічаються з функціональними рівняннями:  

f (-x)=f(x)                                           (3)

f(-x)=-f(x)                                           (4)

f(x+Т)=f(x)                                        (5)

коли вивчають  такі властивості   тригонометричних функцій, як  парність,  непарність, періодичність.

    Взагалі, функціональні рівняння – це певне співвідношення, за яким потрібно знайти невідому функцію. Наприклад, найпростіші функціональні рівняння, для яких знайдено способи розв’язку: 

 

f((х + 1)(х - 1)-1 )   =    f(2х)                            (6)

 

f((х + 1)(х - 1)-1 )  =    f(x) + f(y)                       (7)

 

f(x+y) - f(x-y) = 2f(x)f(y)                      (8)

 

f(x+y)  - f(x-y) = 2f(x)cosy                   (9)

 

f(x+1) + f(x) = x                                   (10)

 

2f(1-x) + 1 = x×f(x)                               (11)

 

   Давайте складемо функціональне рівняння. Для цього згадаємо властивість добутку степенів

ах×ау = ах+у             (12)

 

        Враховуючи, що

f(x) = ах ,   f(у) =  ау   та    а(х+у) = f(x+y),

матимемо таке функціональне рівняння

 

f(x+y) = f(x)f(y),                             (13)

    З іншої сторони отримаємо розв’язок рівняння (13) .

 Приймемо заміну аргументу  

х = у = 0,5z ,

тоді                           

f(z) = f 2(0,5z) ≥  0,

 

тобто  функція  невід’ємна.  Проте насправді,

f(z)>0

для будь-яких дійсних z.

 

    Припустимо, що для деякого значення  х 

f(x)=0,

отримаємо з рівності (13)  для довільного значення  z= х+у  необхідне співвідношення

f(z)=0.

Таким чином,  функція що задовольняє  (13) завжди додатня.

       Щоб знайти розв’язок  функціонального рівняння (13), позначимо

f(1) = а>0

та скористаємося допоміжною функцією

g(x)=logaf(x),

адже 

f(х)>0

тобто

f(x) = аg(x) .                     (14)

Тоді рівняння (13)   матиме вигляд

а g(x+у) = а g(x) а g(у) 

 або  

g(x+у) = g(x)+ g(у)

    Останнє рівняння  типу Коші, зазначимо, якщо обмежити  f(x) зверху хоча б на одному інтервалі (s; s+t), де t – деяке додатне число, то отримуємо обмеженість зверху функції  g(x) на цьому інтервалі.        Таким чином, можна вважати, що

g(x )= кх,

де к – деяка стала.

 

Із рівності (14) отримуємо

 

f(x)= акх

Оскільки,  

f(1)= а,  то к =1

 

тому розв’язком рівняння буде

f(x) = ах.

         Варто зазначити, що єдина функція f , яка не дорівнює нулю, неперервна на множині дійсних чисел і задовольняє рівняння (13) – саме показникові функції f (х) = ax.

 

          Розв’язувати  функціональні  рівняння можна різними способами. Але слід запам’ятати такий факт:

Функція f: RR  називається алгебраїчною на області визначення, якщо для деякого натурального n і деяких многочленів

Р0(х),  Р1(х),  Р2(х),  Р3(х),......, Рn(х)

не рівні тотожно нулю.

 

виконується рівність

 

Р0(х) + Р1(х)f(x) + Р2(х)f2(x)+ Р3(х)f3(x)+......+Рn(х)fn(x) = 0.

Алгебраїчна функція  може бути роз’язком системи алгебраїчних рівнянь.

В основу класифікації елементарних функцій покладено принцип дихотомії.

Дихотомія – це особливий вид ділення, коли дане поняття ділять на два суперечливі.

     Наприклад:

                      Елементарні функції:

А) Трансцендентні функції;  

Б) Алгебраїчні функції:

                                 а) Ірраціональні функції;

                                  б) Раціональні      функції:

                                            1.Цілі функції;   

                                            2. Дробові функції.

  Трансцендентні функції – це клас показникових, тригонометричних, логарифмічних, обернених тригонометричних та інших функцій, які не являються алгебраїчними.

 

Цікавими для математиків являються композиції двох функцій, які не змінюють значення аргументу, тобто композиції виду

f(p(у))=у      та         р(f(x))=х,    (*)

де   x є А, у є В,

f: АВ 

р: ВА .

       Такі композиції  будемо вважати функціональними рівняннями, а пару функцій, що задовольняє  рівностям  (*) називатимемо взаємно оберненими  функціями. Множина  розв’язків  двох рівнянь (*) – це клас функцій, за допомогою яких математики розв’язують звичайні, тригонометричні, логарифмічні та інші рівняння.

        Тому важливо знати умови існування обернених функцій.

Всі функції можна розбити на два класи: 1. Функції, обернені до яких є функціями; 2. Функції, обернені до яких не є функціями. Перші називаються оберненими, другі – не обернені.

    Обернені функції – це відповідність, в якій немає пар з однаковими першими та різними другими компонентами(функція!!!) та немає пар з однаковими другими та різними першими компонентами (обернена!!!)

 

Тому обернена функція кожне своє значення приймає тільки один раз, а її графік у декартовій системі координат не має точок з однаковими абсцисами і різними ординатами, а також точок з різними абсцисами, але однаковими ординатами.



 

РОЗВ’ЯЗУВАННЯ

КВАДРАТНОГО ФУНКЦІОНАЛЬНОГО

РІВНЯННЯ ЗА МОДУЛЕМ 2.

У даній статті на базі топології абстрактних дискретних функцій вигляду:

n[2x2]: {x1; x2} ®{y1; y2}, де  {x1; x2} є Х, {y1; y2} є Y

отримані розв’язки цілозначних квадратних функціональних рівнянь, які мають прикладне застосування у вигляді  таких конкретних функцій(відображень):

f: {2m; 2n-1} ®{2k; 2l-1}, де {k, l, m, n}єZ

або

g: {0; 1} ®{0; 1}.

 

ОПЕРАЦІЇ НАД ЕЛЕМЕНТАМИ МНОЖИН {x1; x2} є Х, {y1; y2} єY

 

У двох множинах {x1; x2} є Х, {y1; y2} єY введемо операції додавання, віднімання і множення.

Означення.Операція додавання двох елементів на множині

{x1; x2} є Х, буде позначатися знаком «+» і визначається за правилами:

х2

x1 + x2=x2

x2 + x2=x1

х1

x1 + x1=x1

x2 + x1=x2

ДОДАВАННЯ

x1

x2

1)додаванням двох перших елементів x1 + x1 намножині Х є x1;

2)додаванням двох других елементів x2 + x2 намножині Х є x1.

Двом рівним елементам множини Х в результаті додавання ставиться у відповідність перший елемент цієї множини.

3) Додаванням двох елементів: першого і другого  елементів: x1 + x2 намножині Х є x2.

4)Додаванням двох елементів: другого і першого  елементів: x2 + x1  намножині Х є x2.

Двом різним елементам множини Х в результаті додавання ставиться у відповідність другий елемент цієї множини.

У вищеозначеній  операції додавання можна виконувати для довільної кількості елементів із {x1; x2} є Х, тобто,  вважається, що існує додавання довільної кількості елементів:

x1 + x2 + x2 + … + x1,

і результатом такої операції є послідовне виконання дій, перша дія виконується у внутрішніх дужках, а потім у найближчих зовнішніх дужках:

(…((x1 + x2)+ x2 ) … +  x1))…),

В операції додавання елементи можна переставляти, тобто виконується переставний закон додавання:

а+ b= b+ a,

В операції додавання елементів із Х можна виконувати не по порядку, а якомога зручніше:

 (а+ b)  + с = а+ (b + с).

Означення.Операція множення двох елементів на множині

{x1; x2} є Х, будемо позначати знаком «×» і визначається за правилами:

х2

x1 ×x2=x1

x2 ×x2=x2

х1

x1 ×x1=x1

x2 ×x1=x1

МНОЖЕННЯ

x1

x2

1) множенням двох перших елементів x1 ×x1 намножині Х є x1.

2) множенням  двох других елементів x2 ×x2 намножині Х є x2.

Двом першим елементам множини Х в результаті множення ставиться у відповідність перший елемент цієї множини.

Двом другим елементам множини Х в результаті множення ставиться у відповідність другий елемент цієї множини.

3) Множенням  двох елементів: першого і другого  елементів: x1×x2 намножині Х є x1.

4) Множенням двох елементів: другого і першого  елементів: x2 ×x1  намножині Х є x1.

Позначення: a×b=ab, тобто символ операції множення можна не записувати, вважається, що запис ab – це операція множення двох елементів.

 

Двом різним елементам множини Х в результаті множення ставиться у відповідність перший елемент цієї множини.

У вищеозначеній  операції множення можна виконувати для довільної кількості елементів із {x1; x2} є Х, тобто,  вважається, що існує множення довільної кількості елементів:

x1x2x2 …x1,

і результатом такої операції є послідовне виконання дій, перша дія виконується у внутрішніх дужках, а потім у найближчих зовнішніх дужках:

(…((x1x2)x2 ) … x1))…),

В операції множення елементи можна переставляти, тобто виконується переставний закон множення:

аb= ba,

В операції множення елементів із Х можна виконувати не по порядку, а якомога зручніше:

 (аb)с = а(bс).

х2

x1 - x2=x2

x2 - x2=x1

х1

x1 - x1=x1

x2 - x1=x2

ВІДНІМАННЯ

x1

x2

В операції множення порядок дій можна змінювати, тобто виконується сполучний закон множення.

 

Означення.n - cтепенем елемента xіє множення n разів самого на себе:

xі xі…  xі = xіn.

 

Властивість степеня.

xі = xіn.

 

 

Означення.Операція віднімання двох елементів на множині

{x1; x2} є Х, буде позначатися знаком «-» і визначається за правилами:

1) відніманням двох перших елементів x1 - x1 намножині Х є x1.

2) відніманням двох других елементів x2 - x2 намножині Х є x1.

Двом рівним елементам множини Х в результаті віднімання ставиться у відповідність перший елемент цієї множини.

3) Відніманням двох елементів: першого і другого  елементів: x1 - x2 намножині Х є x2.

4) Відніманням двох елементів: другого і першого  елементів: x2 - x1  намножині Х є x2.

 

Означення.Елемент x1 – назвемо нейтральним елементом множини по відношенню до дій додавання і віднімання.

Властивості нейтрального елемента:

а + x1 = x1 + а = а,

b - x1 = x1 - b = b.

Означення.Елемент x2 – назвемо одиничним елементом множини по відношенню до дії множення.

Властивості одиничного елемента:

аx2 = x2а = а.

 

Дискретні функції.

 

Створимо табличне задання абстрактної дискретної функції вигляду:

n[2x2]: {x1; x2} ®{y1; y2}, де  {x1; x2} єХ, {y1; y2} єY

 

Приклад дискретних функцій:

n[2x2]: {0; 1} ®{0; 1}.

 

Множина усіх таких дискретних функцій дорівнює 24 = 16,

 

Використаємо символ {O} – означає відсутність будь-якого значення функції, або значення функції не входить до множини {y1}.

 

 

Множина класично означених однозначнихфункції:

 

y2

{O}

(x2;  y2)

y1

(x1;  y1)

{O}

N1(x)

x1

x2

 

y2

(x1;  y2)

{O}

y1

{O}

(x2;  y1)

N2(x)

x1

x2

 

y2

{O}

{O}

y1

(x1;  y1)

(x2;  y1)

N3(x)

x1

x2

 

 

 

 

y2

(x1;  y2)

(x2;  y2)

y1

{O}

{O}

N4(x)

x1

x2

 

 

 

Множина патологічних(некласично означених) однозначних функції 

n[2x2]: {x1; x2} ®{y1; y2}.

 

 

 

Символ {O} – означає відсутність будь-якого значення функції, або значення функції не входить до множини {y1}.

 

 

 

y2

{O}

{O}

y1

(x1;  y1)

{O}

N5(x)

x1

x2

 

 

 

 

y2

(x1;  y2)

{O}

y1

{O}

{O}

N6(x)

x1

x2

 

 

 

 

y2

{O}

{O}

y1

{O}

(x2;  y1)

N7(x)

x1

x2

 

 

 

y2

{O}

(x2;  y2)

y1

{O}

{O}

N8(x)

x1

x2

 

 

 

y2

{O}

{O}

y1

{O}

{O}

N9(x)

x1

x2

 

 

 

 

 

 

Множина (некласично означених) двозначних функції 

n[2x2]: {x1; x2} ®{y1; y2}.

 

 

 

y2

(x1;  y2)

{O}

y1

(x1;  y1)

{O}

N10(x)

x1

x2

 

 

 

y2

{O}

(x2;  y2)

y1

{O}

(x2;  y1)

N11(x)

x1

x2

 

 

 

y2

(x1;  y2)

(x2;  y2)

y1

(x1;  y1)

(x2;  y1)

N12(x)

x1

x2

 

 

 

y2

(x1;  y2)

{O}

y1

(x1;  y1)

(x2;  y1)

N13(x)

x1

x2

 

 

 

 

 

y2

{O}

(x2;  y2)

y1

(x1;  y1)

(x2;  y1)

N14(x)

x1

x2

 

 

y2

(x1;  y2)

(x2;  y2)

y1

{O}

(x2;  y1)

N15(x)

x1

x2

 

 

 

y2

(x1;  y2)

(x2;  y2)

y1

(x1;  y1)

{O}

N16(x)

x1

x2

 

 

Найпростіше функціональне рівняння у просторі класичних функцій для відображення:

n[2x2]: {x1; x2} ®{y1; y2}.

з невідомою функцією f(x):

f(x) = y1

має  розв’язки:

f1(x) = N3(x)

f2(x) = {N1(x), якщо х = х1; і N2(x), якщо х = х2}

f3(x) = {N1(x), якщо х = х1; і N3(x), якщо х = х2}

f4(x) = {N3(x), якщо х = х1; і N2(x), якщо х = х2},

 

 а функціональне рівняння невідомою функцією g(x):

g(x) = {O}

не має розв’язку  у просторі класичних функцій

Функціональне рівняння невідомою функцією q(x):

q(x) = y2

 

має  розв’язкиу просторі класичних функцій:

q1(x) = N4(x)

q2(x) = {N2(x), якщо х = х1; і N1(x), якщо х = х2}

q3(x) = {N4(x), якщо х = х1; і N1(x), якщо х = х2}

q4(x) = {N2(x), якщо х = х1; і N4(x), якщо х = х2}

 

 

Найпростіше функціональне рівняння у просторі патологічних функцій для відображення:

n[2x2]: {x1; x2} ®{y1; y2}.

з невідомою функцією p(x):

p(x) = y1

має розв’язок у просторі патологічних функцій:

p(x) = {N5(x), якщо х = х1; і N7(x), якщо х = х2}

 

Найпростіше функціональне рівняння у просторі двозначних функцій для відображення:

n[2x2]: {x1; x2} ®{y1; y2}.

з невідомою функцією p(x):

p(x) = {y1;{O}}

має розв’язки просторі двозначних функції: 

 

p(x) = N10(x)

p(x) = {N13(x), якщо х = х1; і N9(x), якщо х = х2}

p(x) = {N12(x), якщо х = х1; і N9(x), якщо х = х2}

p(x) = {N16(x), якщо х = х1; і N9(x), якщо х = х2}

і так далі.

Функціональне рівняння невідомою функцією q(x):

q(x) = {{O};{O}}

має розв’язки просторі двозначних функції: 

q(x) = N9(x)

 

 

 

 

 

 

ФУНКЦІОНАЛЬНЕ

РІВНЯННЯ ЗА МОДУЛЕМ 2.

Означення. Рівність вигляду

b(t)f(x)  +c(t) = g(t)    (*)

де невідома функція

f(x):  {2m; 2n-1} ®{2k; 2l-1}, де {k, l, m, n}єZ

і відомі цілозначні функції:

a(t): {2m; 2n-1} ®{2k; 2l-1}, де {k, l, m, n}єZ

b(t): {2m; 2n-1} ®{2k; 2l-1}, де {k, l, m, n}єZ

с(t): {2m; 2n-1} ®{2k; 2l-1}, де {k, l, m, n}єZ

g(t): {2m; 2n-1} ®{2k; 2l-1}, де {k, l, m, n}єZ

називається квадратнимфункціональнимрівнянням  за модулем 2.

Зауваження. Є таке уточнення, степеневі функціональні рівняння вигляду

f(х)f(х)...f(х) = fk(х) = х.

зводяться до рівняння першого степеня такого вигляду

f(х) = х

на множині класичних функцій {0;1} - {0;1}, бо хт = х.

Отжк, класичних квадратних(і степеневих) рівнянь не існує.
Проте на цій же множині класичних функцій існують функціональні рівняння другого порядку з двома невідомими функціями

f(х)+ f(х)g(х) + g(х)  = х
 f(х)g(х) = х.

Зрозуміло, не має на множині класичних функцій  {0;1} - {0;1}, функціональних рівнянь третього порядку з двома невідомими функціями.

Усі три незалежних функцій коефіцієнтів  bt), c(t)  можуть приймати одне із двох значень: парне або непарне.

Дослідження для некласичних функцій {2m; 2n-1} ®{2k; 2l-1}, де {k, l, m, n}єZ

Всього існує вісім різних випадків запису квадратного тричлена з цілими  коефіцієнтами

a(t)f(x)2 + b(t)f(x)  +c(t)

за критерієм парності, або, як говорять математики,   на множині функціональних квадратних  тричленів відбулася факторізація усіх тричленів на вісім видів за модулем 2.

 

a(t)

f(x)2 +

b(t)

f(x)  +

c(t)

= g(t)

FQT1

2n

f(x)2 +

(2k – 1)

f(x)  +

2q

= g(x)

FQT2

2n

f(x)2 +

(2k – 1)

f(x)  +

(2q – 1)

= g(x)

FQT3

2n

f(x)2 +

2k

f(x)  +

(2q – 1)

= g(x)

FQT4

2n

f(x)2 +

2k

f(x)  +

2q

= g(x)

FQT5

(2n – 1)

f(x)2 +

(2k – 1)

f(x)  +

(2q – 1)

= g(x)

FQT6

(2n – 1)

f(x)2 +

(2k – 1)

f(x)  +

2q

= g(x)

FQT7

(2n – 1)

f(x)2 +

2k

f(x)  +

2q

= g(x)

FQT8

(2n – 1)

f(x)2 +

2k

f(x)  +

(2q – 1)

= g(x)

 

 Всього існує шістнадцять різних випадків рівняння (*), бо для цілих значень квадратного функціонального тричлена з довільними цілозначними функціями-коефіцієнтами a(t), b(t), c(t):

a(t)f(x)2 + b(t)f(x)  + c(t): {2m; 2n-1} ®{2k; 2l-1},

де {k, l, m, n}єZ.

За допомогою двох таблиці конкретизуємо усі випадки:

А) якщо f(x) – парне число і вісім випадків;

Б) якщо  f(x) – непарне число.

Вісім випадків, коли  f(x) = 2m

 

a(t)f(x)2

b(t)f(x)  +

c(t)

=  g(t)

FQT1(2m)

2n(2m)2 +

(2p – 1)(2m) +

2k

=2q

FQT2(2m)

2n(2m)2 +

(2p – 1)(2m) +

(2k – 1)

=2q - 1

FQT3(2m)

2n(2m)2 +

2p(2m) +

(2k – 1)

=2q - 1

FQT4(2m)

2n(2m)2 +

2p(2m) +

2k

=2q

FQT5(2m)

(2n – 1) (2m)2 +

(2p – 1)(2m) +

(2k – 1)

=2q - 1

FQT6(2m)

(2n – 1) (2m )2+

(2p – 1)(2m) +

2k

=2q - 1

FQT7(2m)

(2n – 1) (2m)2 +

2p(2m) +

2k

=2q

FQT8(2m)

(2n – 1) (2m)2 +

2p(2m) +

(2k – 1)

=2q - 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

і вісім випадків, коли f(x) – непарне число.

 

 

 

 

 

Вісім випадків, коли  f(x) = 2m - 1

 

a(t)f(x)2 + b(t)f(x)  + c(t) = g(t),  якщоf(x)  = 2m – 1

 

a(t)f(x)2 +

b(t)f(x)  +

+ c(t)

= g(t) 

FQT1(2m-1)

2n(2m – 1)2 +

2p(2m – 1) +

2k

=2q

FQT2(2m-1)

(2n – 1) (2m – 1)2 +

(2p – 1)(2m – 1) +

2k

=2q

FQT3(2m-1)

2n(2m – 1)2 +

(2p – 1)(2m – 1) +

(2k – 1)

=2q

FQT4(2m-1)

(2n – 1) (2m – 1)2 +

2p(2m – 1) +

(2k – 1)

=2q

FQT5(2m-1)

2n(2m – 1)2 +

2p(2m – 1) +

(2k – 1)

=2q - 1

FQT6(2m-1)

(2n – 1) (2m – 1)2 +

(2p – 1)(2m – 1) +

(2k – 1)

=2q - 1

FQT7(2m-1)

(2n – 1) (2m – 1)2 +

2p(2m – 1) +

2k

=2q - 1

FQT8(2m-1)

2n(2m – 1)2 +

(2p – 1)(2m – 1) +

2k

=2q - 1

 

Це слідує з того, що дискретна функція виду

n[2x2]: {x1; x2} ®{y1; y2}, де  {x1; x2} єХ, {y1; y2} єY

має 16 різних дискретних відображень із множини {x1; x2} у множину {y1; y2}.

Теорема 1. Довільний функціональний многочлен g(t)стандартного вигляду

g(t) = a(t)f(x)2 + b(t)f(x)  + c(t)  (**)

з цілими функціями-коефіцієнтами при парних значеннях функції  f(x)  приймає таку ж парність, яку має вільний член c(t).

Означення. Два  відображення тотожно рівні, якщо:

1)обидва відображення визначенні на  одному і тому самому топологічному просторі;

2)при рівних значеннях аргументів  в обох відображеннях обов’язково рівні обидва між собою значення функції.

Отже, можна ввести коректно означення функції-кореня для функціонального рівняння (*).

Означення. При будь-яких функціях-коефіцієнтах вигляду:

  a(t): {2m; 2n-1} ®{2k; 2l-1}, де {k, l, m, n}єZ

b(t): {2m; 2n-1} ®{2k; 2l-1}, де {k, l, m, n}єZ

с(t): {2m; 2n-1} ®{2k; 2l-1}, де {k, l, m, n}єZ

g(t): {2m; 2n-1} ®{2k; 2l-1}, де {k, l, m, n}єZ

для функціонального квадратного рівняння

a(t)f(x)2 + b(t)f(x)  +c(t) = g(t)

будемо називати f(x)  функцією-коренем цього рівняння, якщо відображення що становить ліву частину рівняння тотожно рівне відображенню, що становить праву частину цього рівняння.

 

Теорема.  При будь-яких функціях-коефіцієнтах вигляду:

a(t): {2m; 2n-1} ®{2k; 2l-1}, де {k, l, m, n}єZ

b(t): {2m; 2n-1} ®{2k; 2l-1}, де {k, l, m, n}єZ

с(t): {2m; 2n-1} ®{2k; 2l-1}, де {k, l, m, n}єZ

g(t): {2m; 2n-1} ®{2k; 2l-1}, де {k, l, m, n}єZ

у функціонального квадратного рівняння

a(t)f(x)2 + b(t)f(x)  +c(t) = g(t)

існують функції-корені  вигляду

f(x) : {2m; 2n-1} ®{2k; 2l-1},

де {k, l, m, n}єZ,

 які знаходяться в топологічному простору функцій  виду:

n[2x2]: {x1; x2} ®{y1; y2}.

 

Таким чином, функції-корені треба шукати у множина усіх дискретних функцій, потужність якої дорівнює 24 = 16, а не 22.

 

Для повної картини усього спектру функцій-коренів наводимо табулювання дискретних функцій, де використаємо символ {O}, який означає відсутність будь-якого значення функції, або значення функції не входить до множини {y1; y2}.

 

 

Множина класично означених однозначнихфункції:

 

y2

{O}

(x2;  y2)

y1

(x1;  y1)

{O}

N1(x)

x1

x2

 

y2

(x1;  y2)

{O}

y1

{O}

(x2;  y1)

N2(x)

x1

x2

 

y2

{O}

{O}

y1

(x1;  y1)

(x2;  y1)

N3(x)

x1

x2

 

 

y2

(x1;  y2)

(x2;  y2)

y1

{O}

{O}

N4(x)

x1

x2

 

 

Множина патологічних(некласично означених) однозначних функції 

n[2x2]: {x1; x2} ®{y1; y2}.

 

 

 

Символ {O} – означає відсутність будь-якого значення функції, або значення функції не входить до множини {y1}.

 

 

y2

{O}

{O}

y1

(x1;  y1)

{O}

N5(x)

x1

x2

 

 

y2

(x1;  y2)

{O}

y1

{O}

{O}

N6(x)

x1

x2

 

 

y2

{O}

{O}

y1

{O}

(x2;  y1)

N7(x)

x1

x2

 

 

y2

{O}

(x2;  y2)

y1

{O}

{O}

N8(x)

x1

x2

 

 

y2

{O}

{O}

y1

{O}

{O}

N9(x)

x1

x2

 

 

 

Множина (некласично означених) двозначних функції 

n[2x2]: {x1; x2} ®{y1; y2}.

 

 

y2

(x1;  y2)

{O}

y1

(x1;  y1)

{O}

N10(x)

x1

x2

 

 

 

y2

{O}

(x2;  y2)

y1

{O}

(x2;  y1)

N11(x)

x1

x2

 

 

y2

(x1;  y2)

(x2;  y2)

y1

(x1;  y1)

(x2;  y1)

N12(x)

x1

x2

 

 

y2

(x1;  y2)

{O}

y1

(x1;  y1)

(x2;  y1)

N13(x)

x1

x2

 

 

y2

{O}

(x2;  y2)

y1

(x1;  y1)

(x2;  y1)

N14(x)

x1

x2

 

 

y2

(x1;  y2)

(x2;  y2)

y1

{O}

(x2;  y1)

N15(x)

x1

x2

 

 

 

y2

(x1;  y2)

(x2;  y2)

y1

(x1;  y1)

{O}

N16(x)

x1

x2

 

 

Найпростіше функціональне рівняння у просторі класичних функцій для відображення:

n[2x2]: {x1; x2} ®{y1; y2}.

з невідомою функцією f(x):

f(x) = y1

має  розв’язки:

f1(x) = N3(x)

f2(x) = {N1(x), якщо х = х1; і N2(x), якщо х = х2}

f3(x) = {N1(x), якщо х = х1; і N3(x), якщо х = х2}

f4(x) = {N3(x), якщо х = х1; і N2(x), якщо х = х2},

 

 а функціональне рівняння невідомою функцією g(x):

g(x) = {O}

не має розв’язку  у просторі класичних функцій

Функціональне рівняння невідомою функцією q(x):

q(x) = y2

 

має  розв’язкиу просторі класичних функцій:

q1(x) = N4(x)

q2(x) = {N2(x), якщо х = х1; і N1(x), якщо х = х2}

q3(x) = {N4(x), якщо х = х1; і N1(x), якщо х = х2}

q4(x) = {N2(x), якщо х = х1; і N4(x), якщо х = х2}

 

 

Найпростіше функціональне рівняння у просторі патологічних функцій для відображення:

n[2x2]: {x1; x2} ®{y1; y2}.

з невідомою функцією p(x):

p(x) = y1

має розв’язок у просторі патологічних функцій:

p(x) = {N5(x), якщо х = х1; і N7(x), якщо х = х2}

 

Найпростіше функціональне рівняння у просторі двозначних функцій для відображення:

n[2x2]: {x1; x2} ®{y1; y2}.

з невідомою функцією p(x):

p(x) = {y1;{O}}

має розв’язки просторі двозначних функції: 

 

p(x) = N10(x)

p(x) = {N13(x), якщо х = х1; і N9(x), якщо х = х2}

p(x) = {N12(x), якщо х = х1; і N9(x), якщо х = х2}

p(x) = {N16(x), якщо х = х1; і N9(x), якщо х = х2}

і так далі.

Функціональне рівняння невідомою функцією q(x):

q(x) = {{O};{O}}

має розв’язки просторі двозначних функції: 

q(x) = N9(x).

 

Теорема 2. Довільний функціональний многочлен стандартного вигляду (**) з цілими коефіцієнтами серед своїх функцій-нулів немає парних коренів,  якщо вільний член виражений непарним числом.

Доведення. Таблиця дає повну картину значень квадратного тричлена при парних значеннях  х:

 a(t)f(x)2 + b(t)f(x)  + c(t) = g(t)

a(t)f(x)2 + b(t)f(x)  + c(t) = g(t),  якщох = 2m

a(t)f(x)2 +

b(t)f(x)  +

c(t)

= g(t) 

2n(2m)2 +

(2p – 1)(2m) +

2k

=2q

2n(2m)2 +

2p(2m) +

2k

=2q

(2n – 1) (2m )2+

(2p – 1)(2m) +

2k

=2q

(2n – 1) (2m)2 +

2p(2m) +

2k

=2q

2n(2m)2 +

(2p – 1)(2m) +

(2k – 1)

=2q - 1

2n(2m)2 +

=2q - 1

(2k – 1)

=2q - 1

(2n – 1) (2m)2 +

(2p – 1)(2m) +

(2k – 1)

=2q - 1

(2n – 1) (2m)2 +

2p(2m) +

(2k – 1)

=2q - 1 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема. Довільний функціональний многочлен стандартного вигляду з цілими коефіцієнтами

a(t)f(x)2 + b(t)f(x)  + c(t) = g(t)

серед своїх цілих коренів немає парних коренів,  якщо вільний член виражений непарним числом.

Доведення.  Якщо вільний член виражений непарним числом, то значення квадратного тричлена  f(2m) =2q - 1, і  ніколи не буде дорівнювати нулю, бо нуль – це парне число.

Оглянемо таблицю значень квадратного тричлена при непарних значеннях змінної:

a(t)f(x)2 + b(t)f(x)  + c(t) = g(t),  якщох = 2m – 1

a(t)f(x)2 +

b(t)f(x)  +

+ c(t)

= g(t) 

2n(2m – 1)2 +

(2p – 1)(2m – 1) +

2k

=2q - 1

2n(2m – 1)2 +

(2p – 1)(2m – 1) +

(2k – 1)

=2q

2n(2m – 1)2 +

2p(2m – 1) +

(2k – 1)

=2q - 1

2n(2m – 1)2 +

2p(2m – 1) +

2k

=2q

(2n – 1) (2m – 1)2 +

(2p – 1)(2m – 1) +

(2k – 1)

=2q - 1

(2n – 1) (2m – 1)2 +

(2p – 1)(2m – 1) +

2k

=2q

(2n – 1) (2m – 1)2 +

2p(2m – 1) +

2k

=2q - 1

(2n – 1) (2m – 1)2 +

2p(2m – 1) +

(2k – 1)

=2q

 Або  впорядкувавши попередню таблицю, отримаємо:

a(t)f(x)2 + b(t)f(x)  + c(t) = g(t),  якщох = 2m – 1

a(t)f(x)2 +

b(t)f(x)  +

+ c(t)

= g(t) 

2n(2m – 1)2 +

2p(2m – 1) +

2k

=2q

(2n – 1) (2m – 1)2 +

(2p – 1)(2m – 1) +

2k

=2q

2n(2m – 1)2 +

(2p – 1)(2m – 1) +

(2k – 1)

=2q

(2n – 1) (2m – 1)2 +

2p(2m – 1) +

(2k – 1)

=2q

2n(2m – 1)2 +

2p(2m – 1) +

(2k – 1)

=2q - 1

(2n – 1) (2m – 1)2 +

(2p – 1)(2m – 1) +

(2k – 1)

=2q - 1

(2n – 1) (2m – 1)2 +

2p(2m – 1) +

2k

=2q - 1

2n(2m – 1)2 +

(2p – 1)(2m – 1) +

2k

=2q - 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

Як  знаходити розв’язок функціональних рівнянь лінійного  виду?

 

     Означення.  Функціональне рівняння  виду

                   g1(x)f(x) = g2(x) ,              (1.1)

            де f(х):RR

 являється невідомою функцією, а функції

 g1(х): RR,  g2(х): RR являються відомими, називається функціональним рівнянням лінійного виду.

    Означення.  Розв’язком функціонального рівняння (1.1) будемо вважати функцію f(x), яка:

1)не порушує знак рівності;

2)не обмежує умов існування функцій  g1(x), g2(x).

Розв’язують функціональні рівняння лінійного виду конструктивним способом, виокремлюючи деякі множини функцій на чотирьох дійсних множинах.

 1)Визначають деяку дійсну множину, для якої справедлива рівність:

                             0×f(x) = 0,

 тобто знаходять таку дійсну множину А значень аргументу х на ОДЗ, коли   Для цієї множини з ОДЗ даного рівняння розв’язком є будь-яка функція, що визначена на дійсній множині А.

2)Визначають деяку дійсну множину, для якої справедлива рівність:

                             0×f(x) = k,   де k¹0,

 тобто знаходять таку дійсну множину В значень аргументу х, коли  g1(x) = 0 і g2(x)¹ 0. Для цієї множини ОДЗ даного рівняння не існує розв’язок, бо неоднозначний   вираз k:0  на дійсній множині В.

3) визначають деяку дійсну множину, для якої справедлива рівність:

                             k×f(x) = 0,   де k¹0,

 тобто знаходять таку дійсну множину С значень аргументу х, коли  g1(x)¹0 і g2(x)=0. Для цієї множини ОДЗ даного рівняння існує розв’язок, що визначений на дійсній множині С, але при умові f(x) = 0 для будь-яких хÎC .

4) розглядають випадок

                             k×f(x) = а, де k¹0; а¹0.

 тобто знаходять таку дійсну множину D значень аргументу х, коли  g1(x)¹ 0 і g2(x) ¹ 0. Для цієї множини ОДЗ даного рівняння існує розв’язок, що визначений на дійсній множині D, але при умові

   для будь-яких хÎD.

5) якщо існує функція  р(х):МR така, що

 р(g1(x)f(x) )= f(x),    тоді для множини ОДЗ даного рівняння (1) існує розв’язок, що визначений на дійсній множині М, але при умові, що існує  р(g2(x)) на дійсній множині М. 

Формальний розв′язок записують

                  f(x) )= р(g2(x)).    

           

 

 

 

   

 

Застосуємо композицію взаємно обернених функцій до розв’язку функціональних рівнянь лінійного виду при тій  умові, що  невідома функція

 f: RR  представлена у вигляді складеного аргументу, тобто

               g1(x)f(р(x))  = g2(x),      (1.2)

де  g1: RR\{0},  g2: RR,  р: RR.

       Якщо до аргументу невідомої функції  в рівнянні (1.2) формально застосувати композицію взаємно обернених функцій р та р-1, тобто  

g1(р-1(х))f(x)  = g2(р-1(x)),      (1.3 )

дістанемо рівняння виду (1.1).

 

Таким чином, якщо вдало конструювати   аргументи р(х) у невідомої функції  f(р(х))у рівнянні (1.2) , то  можна знайти обернену функцію р-1(х), а виконавши заміну аргументу на композицію взаємно обернених функцій отримаємо  формальний розв’язок функціонального рівняння:

f(x)  = g2(р-1(x))×g-11(р-1(х))      (1.4)

    Взагалі центральним питанням теорії найпростіших функціональних рівнянь є не стільки практичний пошук розв’язків, стільки питання про існування на певній множині операцій з функціями розв’язку.

    Варто звернути увагу на те, що проблема рівносильних перетворень функціональних рівнянь завжди актуальна під час практичного пошуку розв’язків. Тому перетворювати функціональне рівняння треба так, аби не зникли усі його розв’язки.

       

 

Приклад 1.

Знайти функцію f: МK, якщо  (1+х2)f(2х-6) = 1 – х.

Розв’язання: Розпочнемо конструювати взаємно обернену функцію. Нехай  у=2х-6. Замінимо х на  у.        А потім виразимо у через х.

          х = 2у - 6,   звідси    2у = х + 6,

остаточно у = 0,5х + 3. Таким чином,  р-1(х) = 0,5х + 3 та р(х) = 2х-6 являються взаємно оберненими функціями. Тепер застосуємо композицію, тобто, замінимо х на    0,5х + 3, і отримаємо:

(1+(0,5х+3)2) f(2(0,5х+3)-6) = 1–(0,5х+3);

(0,25х2+3х+10) f(x)  = -0,5х-2;

остаточно,   f(x)  = (-0.5х-2):(0,25х2+3х+10).

Перевіряємо, безпосередньо підставивши знайдену функцію у дане рівняння.

Відповідь:  f(x) = ( -0.5х-2):(0,25х2+3х+10).

 

 

 

 

Завдання для самостійного

        опрацювання

 

 

Завдання  не обов’язкові до виконання

 

1. Знайти та перевірити функцію f: M-->Kякщо:  g1(x)f(р(x))  = g2(x),     де

а) g1(x)= 1,     р(x) = 2х,    g2(x)= х;     

б) g1(x)= -5,   р(x) =- 2х-4,   g2(x)= -3х;     

в) g1(x)=х2+1,   р(x) = 2-5x,   g2(x)= 2х-1;     

г)g1(x)= -9,    р(x) =-х3,     g2(x)= 9х.            

д) g1(x)= 6+х0,5,    р(x) = 1:х,    g2(x)= х2-1;     

 

Дано графіки квадратичної  функції

f(x) = ax2+ bx+ c, де a¹0

та лінійної  функції 

g(x) = kx+l

в прямокутній системі координат хОу.

Чи можна за допомогою циркуля та лінійки виконати побудову  різниці графіків  f(x) - g(x)?

Розв’язання.Якщо утворити різницю

R(x) = f(x) - g(x) = ax2+ bx+ c – kx - l  = ax2+ (b-k)x + (c-l),

то отримаємо квадратичну функцію R(x), у якою на відмінну від квадратичної функції f(x) змінилися параметри лінійної частини.  

Зазначимо такі властивості параметрів квадратичної функції.

1.    При зміні параметра а ( параметри bта  c не змінюються) в формулі квадратичної функції, графік параболи деформується прямокутній системі координат хОу  відносно власної осі симетрії(вітки параболи звужуються (½а½> 1  ) до осі симетрії, або розтягуються (½а½£ 1  )  від осі симетрії. ).  

2.    При зміні двох лінійних параметрів bта  c( параметр  а    не змінюються) квадратичної функції f(x) = ax2+ bx+ cв прямокутній системі координат хОу переміщується вісь симетрії параболи(графік не деформується по відношенню до власної осі симетрії),  тобто,  переміщується  вершина ( Хf;Yf ) параболи

f(x) = ax2+ bx+ c

в нову вершину ( Хr;Yr )  параболи

R(x) = ax2+ (b-k)x + c-l.

Знайдемо координати вершини ( Хf;Yf ) параболи f(x) = ax2+bx+c:

 

Хf = - b/(2a);

Yf = a(- b/(2a)  )2+b(- b/(2a)  )+ c = -b2/4a + c.

 

Знайдемо координати вершини ( Хr;Yr )  параболи R(x) = ax2+ (b-k)x + (c-l) та дізнаємося як перемістилися ці координати в прямокутній системі координат хОу по відношенню до вершини ( Хf;Yf ):

Хr=(k- b)/(2a) = Хf + k/2a;

Yr = a((k- b)/(2a))2+(b –k) ((k- b)/(2a))+ c- l =

=  -(b-k)2/4a + c-l= (- b2+2bk - k2)/4a    +c- l =

= Yf +(2bk - k2)/4a   - l .

Звідси отримали таке переміщення двох вершин  парабол:

 

( Хr;Yr ) ® (Хf + k/2a ; Yf +(2bk - k2)/4a   - l ).

 

За властивістю переміщення можна рухати не вершину ( Хf;Yf ) параболи f(x) = ax2+ bx+ c, а осі   координат. Отже, досить циркулем та лінійкою виконати паралельне перенесення координатних осей в точку

                                      (-k/2a;  - (2bk - k2)/4a   - l ).

Відповідь: можна.

Активні користувачі за останні 15 хвилин: