Функції. Влaстивості функцій

Числовою функцією нaзивaється зaлежність, при якій кожному числу х із деякої множини A однознaчно стaвиться у відповідність число y із множини B.

Цю функціонaльну зaлежність зaписують y = f(x), де:

· x ― aргумент (незaлежнa зміннa);

· y ― знaчення функції (зaлежнa зміннa);

· множинa A ― облaсть визнaчення функції; познaчaється великою лaтинською буквою D;

· множинa B ― облaсть знaчень функції; познaчaється великою лaтинською буквою Е.

Грaфіком функції нaзивaється множинa всіх точок площини з координaтaми x; y, де x ― усі точки облaсті визнaчення функції, a y ― знaчення зaдaної функції в цих точкaх.

Основні способи зaдaвaння функції

· анaлітичний ― мaтемaтичною формулою, aнaлітичним вирaзом;

· грaфічний ― предстaвляється грaфіком функції;

· табличний — предстaвляється рядaми знaчень незaлежної й зaлежної змінних;

· словесним описом — словесно описується зaлежність між змінними.

Функція  f(x) нaзивaєтьсямонотонно зростaючою нa деякій множині, якщо для всіх x₁ і  x₂ з цієї множини, тaких, що x₁ < x₂випливaє, що f(x₁) < f(x₂).

Якщо при цій же умові f(x₁) ≤ f(x₂), то функція неспaднa.

Функція  f(x) нaзивaєтьсямонотонно спaдною нa деякій множині, якщо для всіх x₁ і x₂ з цієї множини тaких, що x₁ < x₂ випливaє, що f(x₁) > f(x₂).

Якщо при цій же умові f(x₁) ≥ f(x₂), то функція незростaючa.

Функція  f(x), визнaченa нa множині A, симетричній відносно осі ординaт, нaзивaється пaрною, якщо f(–x) = f(x) для всіх x із цієї множини.

Грaфік пaрної функції симетричний відносно осі ординaт.

Функція f(x), визнaченa нa множині A, симетричній відносно осі ординaт, нaзивaється  непaрною, якщо f(–x) = –f(x)  для всіх x із цієї множини.

Грaфік непaрної функції симетричний відносно почaтку координaт.

Функція f(x), визнaченa нa всій числовій прямій, нaзивaєтьсяперіодичною, якщо існує тaке ненульове число T, що f(x + T) = f(x)  для всіх дійсних чисел. Число Т нaзивaється періодом функції.

Перетворення грaфіків функцій

Якщо зaдaно грaфік функції y = f(x), то за допомогою елементaрних перетворень із нього можнa отримaти грaфіки таких функцій:

1. y = kF(x), де k ― додaтне число (нa k помножaється функція).

Якщо k > 1, то розтягніть грaфік основної функції від осі aбсцис у kрaзів.

Якщо k < 1, то стисніть грaфік основної функції до осі aбсцис у kрaзів.

2. y = f(kx), де k ― додaтне число (нa k помножaється aргумент).

Якщо k > 1, то стисніть грaфік основної функції до осі ординaт у kрaзів.

Якщо k < 1, то розтягніть грaфік основної функції від осі ординaт уk рaзів.

3. y = –f(x).

Відобрaзіть грaфік основної функції симетрично відносно осі aбсцис.

4. y = f(–x).

Відобрaзіть грaфік основної функції симетрично відносно осі ординaт.

5. y = f( x) + b.

Якщо b > 0, то требa виконaти пaрaлельне перенесення грaфікa основної функції вздовж осі ординaт нa b одиниць угору.

Якщо b < 0, то требa виконaти пaрaлельне перенесення грaфікa основної функції вздовж осі ординaт нa b одиниць вниз.

6. y = f(x + A).

Якщо A додaтне, то требa виконaти пaрaлельне перенесення  грaфікa основної функції вздовж осі aбсцис нa A одиниць вліво.

Якщо A від’ємне, то требa виконaти пaрaлельне перенесення грaфікa основної функції вздовж осі aбсцис нa A одиниць впрaво.

7. y = |f(x)|.

Требa відобрaзити чaстину грaфікa основної функції, що лежить нижче від осі aбсцис, симетрично відносно цієї осі у верхню півплощину, a чaстину грaфікa, що лежить вище осі aбсцис, зaлишити без змін.

8. y = f(| x |).

Требa відобрaзити чaстину грaфікa основної функції, що лежить праворуч від осі ординaт, симетрично відносно цієї осі в ліву півплощину, a чaстину грaфікa, що лежить прaворуч від осі aбсцис, зaлишити без змін.

Квaдрaтний тричлен, його корені. Розклaдaння квaдрaтного тричленa нa лінійні множники

У шкільній мaтемaтиці ми чaсто мaємо спрaву з многочленом, який нaзивaється квaдрaтним тричленом.

Квaдрaтний тричлен (тричлен другого степеня) ― це вирaз видуax² + bx + c, де a, b, c — дійсні числa, причому a ≠ 0, a х — незaлежнa зміннa.

Корінь квaдрaтного тричленa ― це знaчення х, при якому знaчення квaдрaтного тричленa дорівнює нулю.

Дискримінaнтом квaдрaтного тричленa нaзивaється дискримінaнт відповідного йому квaдрaтного рівняння. Для квaдрaтного тричленa ax² + bx + c, дискримінaнт D = b² – 4ac.

Чaсто виникaє необхідність розклaсти квaдрaтний тричлен нa лінійні множники.

Якщо квaдрaтний тричлен мaє розв’язки, то його можнa розклaсти нa множники зa формулою ax² + bx + c = a(x – x₁)(x – x₂), де х₁ і х₂ — корені тричленa.

Необхідність у розклaдaнні нa лінійні множники квaдрaтного тричленa виникaє, нaприклaд, коли требa скоротити дробово-рaціонaльний вирaз, чисельник aбо знaменник якого містить квaдрaтний тричлен.

Тaкож розклaдaння нa множники може виконувaтися при розв’язaнні квaдрaтичних нерівностей методом інтервaлів.

Требa зaувaжити, що не кожен квaдрaтний тричлен можнa розклaсти нa лінійні множники. Якщо дискримінaнт квaдрaтного тричленa нaбувaє від’ємного знaчення, то квaдрaтний тричлен не мaє коренів, тому його не можнa розклaсти нa лінійні множники.

Виділення квaдрaтa двочленa з квaдрaтного тричленa

Іноді виникaє необхідність перетворити квaдрaтний тричлен тaким чином, щоб  виділити в ньому повний квaдрaт двочленa.

 

Дробово-раціональні рівняння

 

Необхідні і достатні умови при розв’язуванні задач

 

При розв’язуванні задач умови, необхідні і достатні, іноді мають інший суть, ніж в доведені  теорем, і ними користуються здебільшого при дослідженнях розв’язків і відповідей.

   Наприклад.

1.Задача. При яких значеннях дріб (a²+a-2):(2+a)=0?

Розв’язання. Відомо, що для того, щоб дріб був рівний нулю потрібно, щоб чисельник дробу був рівний нулю, а знаменник при тій же умові не дорівнював нулю.

Використовуючи необхідність ознаки, ми можемо записати:

Якщо (a²+a-2):(2+a)=0, то a²+a-2=0 і 2+a- не дорівнює нулю; з цього виходить, що a=1.

Але так як умова достатньо, тобто, якщо a²+ a - 2=0  і a+2-не дорівнює нулю, то як висновок, якщо а = 1, то даний дріб рівний нулю.

 

Задача. Яким  умовам має задовольняти число m, щоб тричлен

у =x²- 2(4m-1)x+15m²-2m-7

був додатним при будь-яких значеннях х?

Розв’язання. Відомо , для того, щоб тричлен був додатнім при будь-яких значеннях аргумента х (при додатному коефіцієнті при х²), потрібно щоб дискримінант трьохчлена був від’ємним.

Використовуючи потрібність даного признака, можна написати, що

D= (4m- 1)² - (15m² - 2m-7) < 0

або

m² - 6m+ 8 < 0

і m повинно бути між коренями тричлена

m²- 6m+ 8,

тобто

2< m< 4,

які знаходяться з рішення рівняння

m² - 6m+ 8 = 0.

 

Але так як ця умова виявляється достатньою, щоб при цих значеннях m дискримінант тричлена, який містить х,був від’ємним, то нерівності 2 < m < 4 являється достатнім, щоб даний тричлен був додатнім при будь-яких значеннях х.

 

 

 

 

 

 

 

БАНК ДРОБОВО-РАЦІОНАЛЬНИХ  РІВНЯНЬ

РОЗВ’ЯЗАТИ ДРОБОВО-РАЦІОНАЛЬНІ РІВНЯННЯ

Рівень А

1.    х^-1 = 1;      1/y = 3;        1:n = 4n:25;        6k ^-1 = 9/5;   6/(7m) = 3m/5;  

2.    5/(y +2) = 5;      4:(4 – x) = 3/8;     2(5 – z)^-1 = 7/2;    1,5n/(2 – n) = 0,15; 

3.    0,5х^-1 = 0;      0,3b ^-2 = – 1,2;          – х^-3 = 0,125;

4.    0,6m⁴ : m² = - 0,216;    0,2n : n² = - 0,2;    0,4 : m³ =  0,064;

5.    4х^-1 = -1;      0,04y ^-2 = 0,25;      - 64z ^-3 = - 0,027;

6.    49n ^-2 = 0,49n²;     0,36k ^-2 = 0,81k²;    0,09m ^-2 = 0,01m²;

7.    (k+2):(4 – k²) = 0;   (3 – x)² :(9 – x²) = 0;  (125 – y³ ):(25 – y²) = 0; 

8.    (k+2k²):(4 – k²) = 0;  (12y³–3y⁵):(20y² – 5y⁴) = 0.    

Рівень Б

9.    2:(x – 3) = 4:(x + 3);   

10.                      3n:(8n – 2) = 2n:(3n + 1);

11.                      (z – 2):(6z – 12) = (z + 3):(3z + 9); 

12.                      (m – 5):(6m – 30) = (m + 4):(3m + 12); 

13.                      (k – 2):( k + 1) = (k - 5):( k + 7); 

14.                      (y – 4):( y + 6) = (7 - y):( y + 18); 

15.                      4:x + (x – 3) ^-1 = 0; 

16.                      3z + 8/(5 – z) = 3;

17.                      0,5:(5 – x) + 0,3:(3 – x) = 0,2;

18.                      y:(5 – y) = y:(y – 5);

19.                      (х – 1):(4 – х) =(х – 1):(x – 4);

20.                      (2x² – 5x – 3):(4x² + 4x – 3) = 0;

21.                      (а⁴ + 7а² – 8) : (a⁴ + a² – 2) = 0;   

22.                       (y⁴ – 26y² +25 ) : (y⁴– 20y² +10) = 0; 

23.                      (m⁴ – 4m² – 45 ): (n⁴ + 6n² – 35) = 0; 

24.                      (2k⁴ -5k² + 2) : (3х⁴ -10х² +3) = 0; 

25.                      (7х⁴ + 23х² + 3) : (16 х⁴ – 24х² +9) = 0;

26.                      (25х⁴ – 20х² +4) : (х⁴ + 8х² +15) = 0;

27.                      (х⁶ + 28х³ + 27) : (х⁶+16х³  +64) = 0.

28.                      (a² + 5a + 2):(a²+ 5a – 1) = 2;

29.                      (k² – 4k - 2):(k² – 4k + 1) = 18;      

30.                      (y² + 2y - 1):(y²+ 2y + 1) = 15; 

31.                      (х² – 4х + 1):(х² – 4х – 1) = 24;      

32.                      (х² + 4х – 2):(х² + 4х + 3) = 24;      

33.                      (х² – 5х – 4) : (х² – 5х – 3) = 12.

34.                       (х² + 6х + 6) : (х² + 6х + 5) = 30;     

35.                      2:(х² + 7х + 7) + (х² + 7х + 7):2 = 56;      

36.                      21: (n² – 9n - 6) + (n² – 9n -6):21 = - 42; 

37.                      5: (n² – 3n + 1) + (n² – 3n + 2):5 = 20;

38.                      4: (х² – 5х + 8) + (х² – 5х + 9):4 = 72;

39.                      (х² + 3х - 2) : (х² + 3х + 2) = 12.

40.                       (х² – 5х)²: (х² + 5х) = 8;          

41.                       (z² – z)² :(z²+ z)  = 3;          

42.                      (3x² – 5x – 2):(9x² + 6x + 1) = 0.

Рівень В

43.                      x² +3x + 2:(x – 1) = 4 – 2:(1 – x);

44.                      x² - 2x + 3:(x – 3) = 3 – 3:(3 – x);

45.                      (2x² – 3x – 2):(6x –  2) = 5;

46.                      ( - 2x² – 3x + 2):(x + 2) = 5;

47.                      (2x² – 3x + 1):( x² + 2x –  3) = 1;

48.                      (2x² + 3x + 1):( x² –  2x –  3) = 1;

49.                      1:(2 + x) + 1:(4 + x) = 0,25;

50.                     - 1:(4 –  x) + 1:(2 –  x) = 0,25;

51.                      (x + 2):(x –  1) + (x + 3):(1 + x) + (x + 5):(1 – x²) = 0;

52.                      (x – 1):(x + 2) + (x + 1):(x – 2) + 2(x + 4):(4 – x²) = 0;

53.                      (2x + 1):(x – 2) + (1 –  3x):( x² – 6 + x) = (x + 1):(3 + x);

54.                      (2x – 1):(x + 2) + (1 +  3x):( x² – 6 – x) = (x – 1):(x – 3);

55.                      1: (y² + 2y)² – 12:(y² + 2y) + 36 = 0; 

56.                      1: (z² – 4z)² + 8: (z² – 4z) – 15 = 0;   

57.                      1: (х² – 4х)² - 16: (х² – 4х) + 88= 24;    

58.                      1: (х² – 5х) - 20: (х² – 5х)- 2 = -12.

59.                      1: (n² – 6n)⁶–9: (n² – 6n)³ + 10 = 2; 

60.                      1: (х² – 7х)⁶ + 28: (х² – 7х)³ + 20 = -7;  

61.                      1: (m² – 9m)²-7: (m² – 9m) + 6 = 0; 

62.                      1: (х² – 3х)²–4: (х² – 3х)–45 = 20; 

63.                      1: (a² – 5a)² + 8: (a² – 5a)- 9 = 0;      

64.                      1: (y² -16)² - 2: ( y² -16) + 1= 16.

65.                      1 : ( x² – x – 6) +  1 : ( x² + x – 6) = 1 : ( x² + 5x + 6);

66.                      1 : ( x² + x – 6) +  1 : ( x² – x – 6) = 1 : ( x² – 5x + 6);

67.                      ( x² – 2x – 6) : x –  3x : ( x² – 2x – 6) = 2;

68.                      ( x² + 2x – 6) : x –  3x : ( x² + 2x – 6) = 2.

 

 

 

 

 

 

 

       

Банк задач для домашнього завдання з математики  9 клас

Компетентнісні завдання для формування  високорівневих здібностей

Банк задач для домашнього завдання з алгебри  9 клас

.

Домашнє завдання 1.  Банк рівнянь.

 А. Розв’язати рівняння різними спосoбами і виконати письмову перевірку коренів:

1. 125х² – 20х⁴  = 0; 72z³ – 98z⁵  = 0;       64х⁴ – 36х²  = 0; 

2. х⁶ – 64 = 0; х⁶ – х³ = 0; х⁶ - 256х² = 0; 729x⁴ – x⁶  = 0;

3. х⁴ – 81х³ = 0;    х⁴ – 16х² = 0;     729х⁴ – 256 = 0;     625х⁴ – 1 = 0;

4. х⁷ – 64х⁴ = 0;    х⁸ + х⁵ = 0;    8х⁵ + 125х² = 0;    64х⁵ – 27х² = 0.

Домашнє завдання 2.  Банк рівнянь.

Розв’язати рівняння різними спосoбами і виконати письмову перевірку коренів:

1.  z² + 7z  – 8 = 0;      2.  – p² – 6p  + 7 = 0;     3.  – 2x² + 14x  – 16 = 0;        

4. k² + k + 2 = 0;         5. – 4n² + n + 5 = 0;        6. – 5m² + m – 2 = 0;  

7. y² – 13y  + 36 = 0;   8. y² – 17y  + 72 = 0;     9. y² – 0,16y  + 0,63 = 0;        

10. z² – 10z  + 25 = 0;  11. z² + 14z  + 49 = 0;     12. z² – 3z  + 2,25 = 0;     

13.  30х² – 20х  + 10 = 0;  14. 2х² – 4х  + 12 = 0;   15. 24х² – 36х  + 48 = 0;   

16. m² – 4m  – 45 = 0;   17.  n² + 6n  – 35= 0;        18. 2k² -5k  + 2 = 0;   

19. 3х² -10х  + 3= 0;     20.  7m² + 23m  + 3 = 0;     21. 16n² -24n  + 9 = 0;

22. 25х² -20х  + 4 = 0;    23. х² + 8х  + 15 = 0;     24. х² + 28х  + 27 = 0;

25. х² +16х  + 64 = 0.  26.  n² + 12n  + 35= 0;        27.  k² -9k  + 20 = 0;   

28. х² -11х  + 30 = 0;     29.  m² + 23m  + 60 = 0;     30. 16m² +24m + 9 = 0;

31. 25n² +20n  + 4 = 0;    32. k² – 8k  + 15 = 0;     33. k² – 28k  + 27 = 0;

34. n² - 16n  + 64 = 0.  35. 3m² + 30m  + 72 = 0;     36. 2m² – 58m  + 56 = 0.

Домашнє завдання 3.  Банк рівнянь.

Розв’язати  рівняння способом заміни і виконати письмову перевірку коренів:

1.  а⁴ + 7а² – 8 = 0;  2. b⁴ + b² - 2 = 0;     3. y⁴ – 13y² + 36 = 0;  4. z⁴ – 26z² +25 = 0;   

 5.  х⁴ -20х² +10 = 0;   6. m⁴ – 4m² – 45 = 0;  7.  n⁴ + 6n² – 35= 0;   8. 2k⁴ -5k² + 2 = 0;

 9. 3х⁴ -10х² +3= 0;   10.  7х⁴ + 23х² + 3 = 0;   11. 16 х⁴ -24х² +9 = 0;  12. 25х⁴ -20х² +4 = 0;

13. х⁴ + 8х² +15 = 0;   14. х⁶ + 28х³ + 27 = 0;  15. х⁶+16х³+64 = 0.

Домашнє завдання 4.  Банк рівнянь.

Розв’язати  рівняння способом заміни і виконати письмову перевірку коренів:

1. (a² + 5a + 2)(a² + 5a – 1) = 28;   2. (k² – 4k - 2)(k² – 4k + 1) = 18;      

3. (y² + 2y - 1)(y² + 2y + 1) = 15;   4. (х² + 4х + 1)(х² + 4х – 1) = 24;      

Розв’язати  рівняння cспособом заміни і виконати перевірку коренів:

1. (х² – 5х)² + 3(х² – 5х) = 28;    2. (z² – z)² – 4(z² – z) + 7 = 3;          

3. (y² + 2y)² - 12(y² + 2y) + 36 = 0;  4. (z² – 4z)² + 8 (z² – 4z) – 15 = 0;   

5. (х² – 4х)² – 16(х² – 4х) + 88= 24;     6. (х² – 5х) ²  – 20(х² – 5х) - 2 = -12.

7. (n² – 6n)⁶ – 9 (n² – 6n)³ + 10 = 2;  8. (х² – 7х)⁶ + 28(х² – 7х)³ + 20 = -7;  

9. (m² – 9m)² – 7(m² – 9m) + 6 = 0;  10. (х² – 3х)² –4(х² – 3х) –45 = 20; 

11. (a² – 5a)² + 8(a² – 5a) - 9 = 0;   12. (y² -16)² - 2( y² -16) + 1= 16.

Домашнє завдання 5.  Банк завдань на властивості квадратного тричлена.

1. Розв’язати  рівняння з обчисленням дискримінанту:

1) -х² + 12х + 1 = 0;  2) -2х² - 7х + 4 = 0;  3) х² - х + 56 = 0;

4) 3х² + 5х + 2 = 0;  5) х² - 10х - 24 = 0;  6) 2х² + 7х - 4 = 0;

2. Розв’язати  рівняння без обчислень дискримінанту:

Якщо a + b + с = 0, то х₁ = 1,  х₂ = с/а.  

Наприклад:  5х² + 4х – 9 = 0; х₁ =1, х₂ = - 9/2.

Якщо а - b + с = 0, то х₁ = - 1,  х₂ =  - с/а.

Наприклад:  4х² + 11х + 7 = 0; х₁ = - 1, х₂ = - 7/4.

1)14х² – 17х + 3 = 0;  2) 13х² – 18х + 5 = 0;  3) х² – 39х - 40 = 0; 

4) х² + 23х - 24 = 0; 5)100х² –83х –183= 0;    6)100 х² + 97х - 197 = 0 ;

3. Розкладіть на множники квадратні тричлени:

1) x² – 5x + 4;       2) n²  – 6n + 5.    3)  х² – 8х + 15;   4) a² + 7a + 10.   5) u² – 5u – 6;    6) w² – 3w – 4.

4. Для  корені в х₁ та х₂ квадратного тричленів,  обчислити вираз  (х₁ +х₂)² – х₁х₂:

1) x² + 6x - 7;        2) 4х²  – 6х + 2.    3)  х² – 8х + 15;   4) -4х² + 28х + 40.   5) - х² – 5х – 6;    6) -х² – 3х – 4.

 

Домашнє завдання 6.   Банк рівнянь, що зводяться до квадратних.

Складіть квадратне рівняння, корені якого на три більші  за відповідні числа  1 та -3.  Виконайте письмову превірку.

Складіть квадратне рівняння, корені якого на 200%  за відповідні числа  2 та 8.  Виконайте письмову превірку.

Складіть квадратне рівняння, корені якого на три більші  за відповідні корені рівняння  х²  -  6х - 7 = 0.  Виконайте письмову превірку.

Складіть квадратне рівняння, корені якого є протилежними  за відповідні корені рівняння  х²  -  3х - 10 = 0. Виконайте письмову превірку.

Складіть квадратне рівняння, корені якого обернені  за відповідні корені рівняння  х²  -  9х + 14= 0. Виконайте письмову превірку.

Домашнє завдання 7.  Банк завдань на властивості рівнянь.

 Розв’язати рівняння  а) - г) і виконати перевірку.  У рівнянні з параметром,що в пункті д) знайти, при якому значенні параметра  k  рівняння має: а) один корінь; б) один додатний корінь; в) один від’ємний корінь; г) два корені; д) два протилежні корені; е) немає коренів;  є) два корені: нульовий  і додатний; ж) два корені: нульовий  і від’ємний; з) два не додатних  корені; и) два  корені різних знаків;  ї)два взаємно обернені корені.

 1.    а) х² = 9х; б) х³ = 16x; в) (х-4)(х+3) = х;  г) (2х – 5)² + (5х + 2)² = 60; д) -9kх² – (1-3k)х -0,25k = 0.  

2.    а) n² = 4n;  б) х³ = 0,25x; в) (х-7)(х+1) = -6х;  г) (4х – 2)² + (2х + 4)² = 54; д)  -kх² – (1-k)х -0,25k = 0.  

3.    а) m² = 16m;  б) х³ = 48x; в)  (х-8)(х+4) = -4х;  г) (3х – 4)² + (4х + 3)² = 64; д) -kх² – (2-k)х -0,25k = 0.  

4.    а) х² = 25x;  б) х³ = 44x; в)  (х-9)(х+6) = -3х;  г) (4х – 5)² + (5х + 4)² = 68; д) -4kх² – (1-2k)х -0,25k = 0.  

5.    а) k² = 36k;  б) х³ = 99x; в)  (х-2)(х+5) = 3х;  г) (5х – 6)² + (6х + 5)² = 60; д) -4kх² – (3-2k)х -0,25k = 0.  

6.    а) z² = (– 1) ⁶; б) х³ = 24x; в) (х-1)(х+9) = 8х;  г) (6х – 9)² + (9х + 6)² = 84; д)  -9kх² – (4-3k)х -0,25k = 0.  

7.    а) b² =( – 3) ² ; б) х³ = 60x; в)  (х-4)(х+8) = 4х;  г) (7х – 4)² + (4х + 7)² = 34; д) -4kх² – (5-2k)х -0,25k = 0.  

 8. При яких значеннях параметра а  сума квадратів коренів рівняння  4х² - 28х + а = 0  дорівнює 22,5?

9. При яких значеннях параметра а розв’язок нерівності рівне  x² + ax ‒1 < 0 буде інтервал довжини 5?


 Домашнє завдання 8.  Банк завдань на властивості квадратних тричленів.

ax² + bx + c = а(х - х₁)(х - х₂) = а(х - m)²+ n

1. Записати три різних квадратних тричлени у стандартному вигляді, якщо корені дорівнюють:

1) 20 і -1,3;  2) – 80 і 1,6;   3) 70 і -1,6;  4) -50  і -1,2;   5) – 90 і -1,5;  6) -12 і -4,0;  7) – 20 і 1,6;  8) 40 і -2,5;   9) – 70 і 1,9;

2. Розкласти на множники квадратний тричлен: а(х-х₁)(х-х₂)  та виділити квадрат двочлена: а(х-m)²+n

1) -х² -5х-4;  2)- х² -х-2;  3)- х² -6х-5;  4) -х² -7х-6;  5) -х² -6х-7;  6) -х² -9х-8;  7) -х² -10х-9;  8) -х² -11х-10;  9) -х² -12х-11;    10) -х² -13х-12;  11) -х² -15х-14; 12) -х² -16х-15;   13) - х²-17х-16;  14) -х² -18х-17;  15) -х² -19х-18;  16) -х² -20х-19;

3.Скласти квадратний тричлен, у якого немає нульових коефіцієнтів.

4.Скласти квадратний тричлен, у якого немає числових коефіцієнтів, але є змінні коефіцієнти.

5.Скласти зведенеий квадратний тричлен, у якого є числові коефіцієнтів та є змінні коефіцієнти.

Домашнє завдання 9.   Банк рівнянь, що зводяться до квадратних.

Складіть квадратне рівняння, корені якого становлять 25%  за відповідні корені рівняння  х²  -  2х - 3 = 0. Виконайте письмову превірку.

Складіть квадратне рівняння, корені якого на півтора  менші  за відповідні корені рівняння  х²  -  3х - 4 = 0. Виконайте письмову превірку.

Складіть квадратне рівняння, корені якого на два більші  за відповідні корені рівняння  х²  -  4х + 3 = 0. Виконайте письмову превірку.

Складіть квадратне рівняння, корені якого на вісім менші за відповідні корені рівняння  х²  -  6х + 5 = 0. Виконайте письмову превірку.

Домашнє завдання 10.   Банк рівнянь . Розклад на множники

Розв'яжіть рівняння х³  -  3х²  + 4х = 0. Виконайте письмову превірку.

Розв'яжіть рівняння х³  -  3х²  + 3х -1 = 0. Виконайте письмову превірку.

Розв’яжіть рівняння:  (х+4)(х-2) =  (х-3)(x-2)  +  (2х+1)(2-x). Виконайте письмову превірку.

Розв’яжіть рівняння:  (х+1)/(х-2) =  (х-5)/(x-2)  +  (7х+3)/(2-x). Виконайте письмову превірку.

Розв’яжіть рівняння:  (х+1)/(х+2) =  (х-5)/(x-1).  Виконайте письмову превірку.

Розв'яжіть рівняння х³  -  8х²  + 8х -1 = 0. Виконайте письмову превірку.

Домашнє завдання 11.   Банк задач на рух

Катер проплив  22  км за течією річки і  36  км проти течії за час, потрібний для того, щоб проплисти  6 км на плоту.  Знайдіть  швидкість течії, якщо власна швидкість катера  дорівнює 20  км/год.

Щоб ліквідувати запізнення на  24  хв, поїзд на перегоні  завдовжки  180 км збільшив швидкість на 5 км/год порівняно зі швидкістю за розкладом. Якою є швидкість поїзда  за розкладом?

Відстань між двома пристанями на річці дорівнює  45  км.  Моторним човном шлях туди і назад можна подолати за  8 год.  Знайдіть власну швидкість човна, якщо швидкість  течії дорівнює  3  км/год.

Домашнє завдання 12.   Банк задач на рух

З міста в село, відстань між якими 450 км, виїхали одночасно два автомобілі. Один з них мав швидкість на 10  км/год  більшу, ніж інший, і тому прибув у село на 30 хв швидше.  Знайдіть швидкість кожного автомобіля.

Човен, власна швидкість якого  18 км/год, проплив 30 км за течією і  16  км проти течії,  затративши на весь шлях 2,5 год. Знайдіть швидкість течії.

Автомобіль мав проїхати  1200 км із певною запланованою швидкістю. Після того як він проїхав третину шляху із  цією швидкістю, автомобіль витратив на зупинку  2 год. Збільшивши швидкість на 20 км/год, автомобіль прибув у  пункт призначення вчасно. Якою була швидкість автомобіля до зупинки?

Домашнє завдання 13.   Банк задач на роботу

Дві бригади, працюючи разом, зорали поле за  6  днів. За скільки днів може зорати поле кожна бригада, працюючи самостійно, якщо другій бригаді на це потрібно на  5  днів  меншё, ніж першій?

Два робітники повинні за планом разом виготовити 250 деталей. Перший робітник перевиконав план на 10 %,  а другий -  на 15 %, тому було виготовлено 280 деталей. Скільки деталей за планом повинен був виготовити кожний робітник?

Для перевезення  60  т вантажу потрібна деяка кількість машин. Оскільки на кожну машину було завантажено на 1 т більше, ніж планувалося, то дві машини виявилися непотрібними. Скільки машин було використано для перевезення?

Домашнє завдання 14.   Банк числових задач  

1.Знайдіть чотири послідовних непарних натуральних числа, якщо добуток другого і третього числа на 111 більший,  ніж потроєна сума першого та четвертого чисел.

2.Чисельник звичайного нескоротного дробу на 5 менший від знаменника. Якщо до чисельника цього дробу додати  3,  а  до знаменника  4,  то дріб збільшиться на 0,125. Знайдіть цей  дріб.

 3.Дано двоцифрове натуральне число, сума квадратів цифр якого дорівнює  45.  Якщо до цього числа додати  27,  то отримаємо число, що записане тими самими цифрами, але  у зворотному порядку. Знайдіть дане число.  

4. Знаменник звичайного нескоротного дробу на  3  більший  від чисельника. Якщо чисельник цього дробу збільшити  на 2, а знаменник  -  на 10, то дріб зменшиться на 2:15. Знайдіть цей дріб.

Домашнє завдання 14.  Контроль знань з теми  «Властивості квадратних рівнянь».

 1. (1 б.) Розв’язати неповні квадратні рівняння: х² = 36;   х² = 6;   х² = -16;   х² + х = 0;    -4х² + 5 = 1;    -7х² - 14 = 0.

 

2. (1 б.) Розв’язати повні квадратні рівняння:   х² - 6х + 9 = 0;    х² + 5х + 4 = 0;    -7х² + 6х - 14 = 0.

3. (1 б.) Записати суму коренів та добуток коренів  квадратного рівняння:    -7х² + 21х - 14 = 0.

4. (1 б.) Розкласти на множники квадратні тричлени та виділити повні квадрати двочлена:  х² + 4х – 5;     4х² + 20х + 25;      - х² - х + 2.

5. (1 б.) Розв’язати рівняння:    (- 3х + 4)(- 4х – 5) + 4х  = - 20;          (-5х + 2)(-5х – 2) + 4х  = - 4.

6. (1 б.) Знайти суму коренів  рівняння:   (- х + 3):(- х – 6) = (х + 6):(- х – 12).

7. (2 б.) Скласти  три різні квадратні рівняння, у кожного з яких будуть такі корені: - 3,5  та 8,7.

8. (2 б.)  Сума двох чисел рівна 40, а їх добуток рівний  300.  Знайти ці числа.

 

9. (2 б.) Розв’язати рівняння:   (х² + 6х)² + 18(х² + 6х) + 81 = 0;    (х² -5х + 4)( х² -5х +2)  = 8.

Домашнє завдання 15.  Банк завдань на властивості нерівностей. 

 

1. Виконати дії з подвійними нерівностями так, щоб оцінити вирази х + у,   х – у,  х∙у,    х:у;  у:х; 3х -5у :

        а)  4<x   7<y         б) 1<xy

  2. Порівняти вирази з нулем:

         1.  а²  ; -х⁶  ;  2. -y²  – 1;   3. b²  + 36;  4. –z⁴ – 50;  5. –81z²   – 64;  6. 3х² + 54;      

3.  Довести  нерівність способом виділення  двох повних квадратів:

А) 5х² – 4х - 2ху + 3 > 0;                  10х² – 6х - 4ху + 7 > 0;                           2х² – 2х − 6ху + 11 > 0.    

4. Довести способом порівняння різниці виразів з нулем, що для будь-яких чисел:

 

          a³b + ab³ =< a⁴ + b⁴ ;                    m⁵n + mn⁵ =< m⁶+ n⁶ ;                             a⁷b + ab⁷ =< a⁸ + b⁸ .

 

Домашнє завдання 16.  Банк  нерівностей.

 

1. Розв’язати нерівності:

1. 0,4m-0,6 > 0,4m-0,1;        2.  0,36z-2,4 < 0,4-0,64z+8,7;     3.   -0, 5a - 0, 9 + 0,6a > -5,9+8,5+5а - 4a;

4. -0,7-0,5n < -0,6-0,9n;       5.  -0,51-2,5v > -0,5v-0,24+7,5;   6.  -0, 5+0,49а < 0,64a + 5,9а+ 6,9 - 8+ 3а;

2. Розв’язати  нерівності:

1. (0,2m - 0,6)(m -2,1) > 0;     2.  (0,3z - 2,4)(2- 0,4z) > 0;               3.  - 2(a -  8)(5+4а) > = 0;

4. (-0,7 - 0,4n )(n -0,5) < 0;     5. ( -0, 1 - 2v)( -0, 1 + 0,2v) > 0;        6. - 4(-5+9а)∙ (4a – 9)(8+ 3а) =< 0;

3. Знайти тільки натуральні розв’язки нерівностей:

1. (2m - 6)(m -2,1) < 0;        2.  ( 6z - 24)( 2,4 + 0,4z) = 0;            3.  - 2∙(0,5a -  8)(5+4а)  > 0;

4. (-0,7 - 0,4n )(n -5) > 0;      5.  ( -5 - v)( -1 - 0,2v) < 0;            6. (4a – 9)(-8+ 4а) =<0;

4. Знайти розв’язки нерівностей на множині цілих чисел (розв’язком є пара цілих чисел):

1. (2x - 7)∙(a -21) < 0;             2. ( m- 24)( 4 - n) > 0;           3.  - 4(a -  8)∙(5+ b)  =< 0;

4. (-9 - c )∙(q -15) > -1;             5. ( -12 – 2n)( -12 - m) < 3;      6.  7(-5 + b)∙(4a – 20) >= 8;

5. Розв’язати нерівності:

1.  0,2|m| - 0,3 < -0,1;      2.    0,36|z| - 2,7z|;        3.   - 2∙|a - 28| + 6 > -3|a -28| - 4;

 

4. -0,8 + 0,3|n| > -0,4;       5.  -0,53 - 5|v| > -0,53 - 0,4|v|;     6.  7∙|5+а| 

Домашнє завдання 17.  Банк нерівностей 

 

Розв’язати нерівності різними спосoбами:

1.  а²  < 0; х²  > 1;  2. y²  > – 1;   3. b²  < 36;  4. z² – 50 =< 0;  5. –81z²  >= – 64;  6. 3х² = 54;      

7. 4b² – 25 < 0;   8. 16a² – 1 > 3;   9.  4y² – 60  4;  10. - 49z² + 13 => 4;  11.7z² – 5 = ;        

12. 49 – 36y² < 100;  13.  64 – 25x² > - 36;   14. 81 + 9b²  < 0;   15. – 16a² - 81 = > 1600;    

16. 7y² + 36 < 100- y²;  17. 64x² + 25 > 164x²;  18. 36b² + 144 =<169b²;  19. 9a² + 16 = >25;    

20.  36х² – 100 > 576;    21. 9m² – 49= < 576;   22. 16n² – 25n² >= 75;  23. 36b² – 81 =< 0.  

Домашнє завдання 18.  Банк квадратних нерівностей 

 1. (1 б.) Розв’язати неповні квадратні  нерівності: х² > 36;   х² < 6;   х² > -16;   х² + х <= 0;    -4х² + 5 >= 1;    -7х² - 14 >= 0.

2. (1 б.) Розв’язати повні квадратні нерівності: х² - 6х + 9 <= 0;    х² + 5х + 4 >= 0;    -7х² + 6х – 14< = 0.

3. (1 б.) Записати суму цілих розв’язків  квадратної нерівності:  -7х² + 21х - 14 > 0.

4. (1 б.) Які із  квадратні тричлені можуть бути тільки додатними:  х² + 4х – 5;     х² + 4х + 25;      - х² - х + 2.

5. (1 б.) Розв’язати рівняння:    (- 3х + 4)(- 4х – 5) + 4х  >= - 20;          (-5х + 2)(-5х – 2) + 4х < = - 4.

6. (1 б.) Знайти розв’язки нерівностей:   (- х + 3):(- х – 6) > (х + 6):(- х – 12).

7. (2 б.) Розв’язати нерівності:   (х² + 6х)² + 18(х² + 6х) + 81 > 0;    (х² -5х + 4)( х² -5х +2)  > 8.   

     Домашнє завдання 19.  Банк нерівностей  з параметром

 1. При яких значеннях параметра а нерівність х²+2х+а > 0 виконується при будь-яких х?

 

2. При яких значеннях параметра а нерівність х²+ах+3а > 0 виконується при будь-яких х?

3. При яких значеннях параметра а нерівність х²+3х+а² < 0 виконується при всіх дійсних  х?

4. При яких значеннях параметра а нерівність х²-2ах+3а-2 < 0 виконується для всіх значень х?

5. При яких значеннях параметра а нерівність х²+(2а+4)х-а > 0 виконується для всіх значень х?

Домашнє завдання 20.  Банк задач на ймовірність

1.Яка ймовірність того, що навмання вибране двоцифрове натуральне число кратне 4?

2.Яка ймовірність того, що навмання вибране двоцифрове натуральне число має цифру 1?

3.Яка ймовірність того, що навмання вибране двоцифрове натуральне число кратне 2 і 3?

4.У ящику  12  білих і  18  чорних кульок.  Яка ймовірність того, що серед трьох навмання обраних кульок буде 2  білих і 1 чорна? 

5.Яка ймовірність того, що навмання вибране двоцифрове натуральне число кратне 2 або 3?

6. Яка ймовірність того, що навмання вибране двоцифрове натуральне число має цифри 2 або 3?

Домашнє завдання 21.  Банк задач на сплави

 1.Латунь - сплав міді та цинку. Мідь складає 60% сплаву. Яке відсоткове відношення міді до цинку

2.Відсоткове відношення міді до олова в бронзі становить 400%. Яке відношення олова до міді?

3.Сплав золота зі сріблом містить 20 г золота. До цього сплаву додали 5 г срібла і 10 г золота. Отриманий сплав містить на  5 %  більше срібла, ніж початковий. Скільки грамів срібла було в початковому сплаві?

4.До зниження цін стілець коштував 160 грн. Якою стала ціна стільця після двох послідовних знижень, перше з яких було на 5 %, а друге – на 10 % ?

 

Домашнє завдання 22.  Банк задач відсотки

1.Скільки потрібно взяти рідини і скільки речовини, щоб отримати 100 г 20-процентного розчину?

2.В яких пропорціях треба змішати 50-процентний і 70-процентний розчини кислоти, щоб отримати 65%-ий розчин цієї кислоти?

3.В яких співвідношеннях треба сплавити золото 375-ої проби із золотом 750-ої проби, щоб отримати золото 500-ої проби?

4.Яку найбільшу кількість 9%-ого оцту можна отримати з 90 г 80-процентної оцтової есенції?

5.У свіжому кавуні є 99% води. Після всихання вміст води становив 98%. У скільки разів всохся кавун?

 

 Домашнє завдання 23.  Банк задач відсотки

1.На скільки відсотків збільшилась вели­чина, якщо вона збільшилась в 1,5раза?

2.Скільки можна отримати 24%-ного соляного розчину з 96г солі?

3.Дві третини  шляху на 60 км більше, ніж 20% від за­лишку. Якої довжини весь шлях?

4.Букіністичний магазин купив книгу на 20% дешевше номіналу, а продав по номіналу. Скільки   відсотків прибутку він одержав?

5.Вкладник приніс в банк 10 грн під 2% річних, а скільки грошей буде на рахунку через два роки?

6.Свіжі гриби містять 90% води. Визначте, у скільки разів всохлися гриби, якщо в стільки ж разів у них зменшився вміст води.

 

 Домашнє завдання 24.  Банк рівнянь з модулем.

 

1.Розв'яжіть рівняння |7 х + 2| = 5. Виконайте письмову превірку.

2.Розв'яжіть рівняння | 2| х | -  6|  =  4. . Виконайте письмову превірку.

3.Розв'яжіть рівняння | -2|х -9| +  6|  =  2. Виконайте письмову превірку.

4.Розв'яжіть рівняння | х² - 16| + | х -  4|  =  0. Виконайте письмову превірку.

5.Розв'яжіть рівняння | х² - 9| - | х -  3|  = 1. Виконайте письмову превірку.

6.Розв'яжіть рівняння | х + 2| - | х -  6|  =  х. Виконайте письмову превірку.

Домашнє завдання 25.  Банк рівнянь з модулем.

1.Розв'яжіть рівняння |-6х² +24| = 1. Виконайте письмову превірку.

2.Розв'яжіть рівняння | - 8|х| -  2|  =  4. . Виконайте письмову превірку.

 3.Розв'яжіть рівняння | 4|х -12| -  5|  =  3. Виконайте письмову превірку.

4.Розв'яжіть рівняння | х² - 25| + | х -  5|  =  0. Виконайте письмову превірку.

5.Розв'яжіть рівняння | х² - 1| - | х -  1|  = 1. Виконайте письмову превірку.

6.Розв'яжіть рівняння | х + 4| - | х -  3|  =  4+ х. Виконайте письмову превірку.

 

Домашнє завдання 26.  Банк нерівностей  з модулем.

1. Зобразити на числовій осі множину усіх точок, що задовольняє умові:  | х | >  1  і  | х | <  5

2. Зобразити на числовій осі множину усіх точок, що задовольняє умові :   | х -3| <  1 або | 3-х | >  5

3. Зобразити на числовій осі множину  усіх точок, що задовольняє умові:  - | х² - 4 | > -8.

4. Зобразити на числовій осі множину точок, що задовольняє умові:  | 4 – х²|  >  0.

5. Зобразити на числовій осі множину точок, що задовольняє умові:  | 9 – х²|  >  5.

6. Розв'яжіть рівняння | х + 2| - | х -  6|  <  х. 

 Домашнє завдання 27.  Банк рівнянь першого степеня з параметром.

 

1. Вказати усі такі значення  параметра  а, при яких рівняння з невідомим  х має тільки натуральні корені:

а)  -ах + 2а = 2а-6; б)3 – 2ах = 2а;  в)-3ах + а = -36+а. 

2. Вказати усі такі значення  параметра  а, при яких рівняння з невідомим  х має тільки цілі корені:

а)-3ах + 9 = -12;   б)-52 – 4ах = -48;  в) -0,5ах - 8а = -6-8а;  г)  6+5ах-3а = -3а+16;  д) -5а²∙ х = 15а.   

3. Вказати усі такі значення  параметра  а, при яких рівняння з невідомим  х має безліч коренів:

а) -ах + 4х+1 = 5-а;    б) 3 – 2ах –а = 3-а;   в)  -3ах + ах +6а = 6а;     г)  (5+а)(4-3а)х =(а+5)(-3а+4).

4. Вказати усі такі значення  параметра  а, при яких рівняння з невідомим  х має тільки один корінь:

а)-9ах -7х -4 = -9а -11;  б) 5 – 5ах-х-4а = 5-4а;    в) -5ах + ах +67а = 67а;      г)  (7+а)(4-8а)х =(а+7)(-8а+4).

 

Домашнє завдання 28.  Банк рівнянь першого степеня з параметром.

1.Вказати усі такі значення  параметра  а, при яких рівняння з невідомим  х не мають коренів:

А)6ах-5х +2 = 6а-3;   б)  2х +9 – 7ах –а = 4-5а;  в) -7ах + ах +8а = 1а;  г) (6+2|а|)(4+а)х =(а+4)(-4|а|+6).

2.Знайти усі такі значення  параметра  а, при яких розв’язок  рівнянь знаходиться на проміжку 1

а)  -7х + 5а = -3а;    б)-23 - 2х = 2а;    в) -0,3х - а = а;  г)  2+3х + 7а = 3а;  

3. Знайти усі такі значення  параметра  а, при яких розв’язок  рівнянь знаходиться на проміжку 2 <|х| < 4

а)  -2х + 4а = -7;  б) 3-6а - 2х = 2а;   в)5-0,5х - а = а;   г) 1-2х + 3а = 3а;    

4. Знайти усі такі значення  параметра  а, при яких розв’язок  рівнянь знаходиться на проміжку -2

а)  -7|х|+5а = -3а;  б)23 - 2|х| = 2а; в)  -0,3|х| - а = а;  г)  2+3|х| + 7а = 3а.

 

Домашнє завдання 29.  Банк  квадратних рівнянь  з параметром

 

1.При яких значеннях параметра a рівняння  ax² - 4x + 2 = 0  має єдиний корінь?

2.При яких значеннях параметра a рівняння  ax²  - x + 1 = 0  має два цілих  додатних корені?

3.При яких значеннях параметра a рівняння  ax²  - 2ax + 4a = 0  має два від’ємних корені?

4. Скільки коренів має рівняння x² - ax + 6 =  0 у залежності від значення  параметра a?

5.При яких а, рівняння (а - 2)х² + (4 - 2а)х + 3 = 0 має один корінь?

6.При яких а, рівняння ах² - 4х+ а + 3 = 0 має більше одного кореня?

Домашнє завдання 30.  Банк завдань на властивості дробово-раціональної функції.

1.Складіть таблицю значень функції, заданої формулою у = - 8/х. Побудуйте графік цієї функції. Чи існуюють точки перетину з осями координат для даного графіка функції.

2.  Функцію задано формулою у = 8/х .У таблиці наведено значення аргументу. Заповніть таку таблицю в зошиті, обчисливши відповідні значення функції:

х	-4	-2	-1	0	1	2	4	-5	5
у = 8/х

Побудуйте графік даної функції.  Як називається графік даної функції?  

3.  Функцію задано формулою у = -12/х .У таблиці наведено значення аргументу. Заповніть таку таблицю в зошиті, обчисливши відповідні значення функції:

х	-4	-2	-1	0	1	2	4	3	-3
у = -12 /х

Побудуйте графік даної функції.  Як називається графік даної функції?  

4. Розв’язати графічним способом рівняння: та виконати повну перевірку розв’язків:

А) 1) x-2 = 4/х;   2) 8-2x= 6/х;   3) 1+ x = 4/х;    4) 7- x= 10/х;  5)  3x - 2= 8/х;   6) 3- 3x= -6/х.

Б) 1) x-1 = 4/х;   2) 4-2x= 6/х;   3) 1+x= -4/х;    4) 7- x= 6/х;  5)  3x - 2= 8/х;  6) 3- 3x= -6/х. 7) х = 1/х.

5. Знайти область визначення функцій та перетворіть функцію до вигляду    у = а + к / (x - b):

 А) у = (1+ x)/(х +2);   Б) у = (x-5)/(х – 1);  В) у = (4– х)/(х-2);   Г) у = (2+х)/(5– х). Побудуйте графіки.

 

Домашнє завдання 31.  Банк завдань на властивості функції.

1.  Для  функцій:  а) у = 2-|х|;   б) у = -4+ 2/х  виконати такі завдання:

а) заповнити і перевірити правильність заповнення таблиці значень функцій ;

б) побудувати в прямокутній системі  координат xOy графіки даних функцій;

в) знайти і записати область визначення даної функції D(f);

г) знайти і записати область значення даної функції Е(f); 

ґ) знайти і записати нулі даної функції;

д) знайти і записати числові проміжки, на яких додатна функція, тобто f(x) > 0; 

е) знайти і записати числові проміжки, на яких від’ємна функція, тобто f(x) < 0;  ;

є) знайти і записати числові проміжки, на яких  функція зростає;

ж) знайти і записати числові проміжки, на яких  функція спадає;

з) знайти і записати числові проміжки, на яких  функція постійна;

і) знайти і записати числові проміжки, на яких  функція невизначена;

к) знайти і записати точки перетину з віссю ординат даної функції; 

л) знайти і записати проміжки, де графік функції неперервний; 

м) знайти і записати локальні мінімуми та максимуми  даної функції на проміжку (0,5; 4) 

н) знайти і записати глобальні мінімуми та максимуми  даної функції;

о) знайти і записати точки перегину  даної функції;

р) знайти і записати точки розриву даної функції.

 

 

Домашнє завдання 32.  Банк завдань на властивості квадратичної функції.

1.  Для  функцій:  а) у = х²- 4х;   б) у = -4 - х²виконати такі завдання:

а) заповнити і перевірити правильність заповнення таблиці значень функцій на проміжку (-4; 4); 

б) побудувати в прямокутній системі  координат xOy графіки даних функцій;

в) знайти і записати область визначення даної функції D(f);

г) знайти і записати область значення даної функції Е(f); 

ґ) знайти і записати нулі даної функції;

д) знайти і записати числові проміжки, на яких додатна функція, тобто f(x) > 0; 

е) знайти і записати числові проміжки, на яких від’ємна функція, тобто f(x) < 0;  ;

є) знайти і записати числові проміжки, на яких  функція зростає;

ж) знайти і записати числові проміжки, на яких  функція спадає;

з) знайти і записати числові проміжки, на яких  функція постійна;

і) знайти і записати числові проміжки, на яких  функція невизначена;

к) знайти і записати точки перетину з віссю ординат даної функції; 

л) знайти і записати проміжки, де графік функції неперервний; 

м) знайти і записати локальні мінімуми та максимуми  даної функції на проміжку (0,5; 4); 

н) знайти і записати глобальні мінімуми та максимуми  даної функції;

о) знайти і записати точки перегину  даної функції;

р) знайти і записати точки розриву даної функції.

 

Домашнє завдання 33.  Банк завдань на властивості функції.

1.     Для квадратичної функції: а) у = х²- 6х + 5;   б) у = -х²- 4х -3   виконати такі завдання:

Знайдіть за допомогою графіка:  1) значення функції, якщо х = -2; 0; 1;   2) значення аргументу, при якому значення функції дорів­нює -3; 2; 4;   3) область визначення функції;  4) область значень функції; 5) нулі функції? 6) Знайдіть проміжок, де функція набуває додат­них значень; 7) проміжок, де функція набуває від'єм­них значень; 8) проміжок, де  зростає графік функції;  9) проміжок, де спадає графік функції; 10) локальні найменші значення(мінімуми) функції; 11) локальні найбільші значення(максимуми) функції; 12) З глобальний мінімум функції; 13) глобальний максимум функції;

14) Скільки розв’язків має рівняння f(x)=0, при довільних значеннях а? При яких а немає коренів рівняння  f(x)=а? 14) Скільки розв’язків має рівняння а = f(x), при довільних значеннях а?

2. Побудуйте графік функції  у   = (2х – 6)/(х – 3). Знайдіть:  1) яке значення у відповідає х = -2; 0; 4;

2) якому значенню х відповідає у = -3; 0; 6;   3) нулі функції;    4) усі значення аргументу, при яких функція набуває додат­них значень;   5) усі значення аргументу, при яких функція набуває від'єм­них значень;   6) зростає чи спадає графік функції?

3. Побудуйте графік функції  у =( -3 – 4х)/(х +2). Знайдіть за гра­фіком:  1) яке значення у відповідає х = -1;  х = 0;  х = 3;   2) якому значенню х відповідає у = -2;  у = 1;  у = 4;   3) нулі функції;  4) значення аргументу, при яких функція набуває додат­них значень;  5) значення аргументу, при яких функція набуває від'єм­них значень;  6) зростає чи спадає графік функції?

4. Побудуйте графік функції  у   =( - 4х – 8)/(-х + 1). Знайдіть за гра­фіком:   1) яке значення у відповідає х = -2; 2; 4;  2) якому значенню х відповідає у = -3; 0; 6;   3) нулі функції;   4) значення аргументу, при яких функція набуває додат­них значень;  5) значення аргументу, при яких функція набуває від'єм­них значень;   6) зростає чи спадає графік функції?

Домашнє завдання 34.  Банк завдань на властивості функції.

 

1.Графік квадратичної функції проходить через точки А(4; -1) , В(2;  4), С(-2;  0).  Записати формулу, що задає графік квадратичної функції.

2.Графік квадратичної функції проходить через точки А(0; -4) , В(2;  0), С(-2;  6).  Записати формулу, що задає графік квадратичної функції.

3.Графік квадратичної функції проходить через точки А(4; -4) , В(0;  4), С(-2;  6).  Записати формулу, що задає графік квадратичної функції.

4. Графік квадратичної функції проходить через точки А(1; -4) , В(2;  4), С(-2;  6).  Записати формулу, що задає графік квадратичної функції.

5.  Графік квадратичної функції проходить через точки А(0; -4) , В(0;  0).   Записати формулу, що задає графік квадратичної функції. Скільки розв’язків має задача?

Дослідити квадратичну функцію і побудувати її графік

 

1.y =  x² + 7x – 8;      

2.  y = –x² – 6x +7;      

3. y =  x² + 2x – 8;        

4.y = x²+x- 2;    

5. y =  – 4x²+x;    

6. y = –2x²+x– 2;  

7.y = x²–3x +4;   

8. y = x²–x +6;    

9. y =  x²–4,5x -2,5;       

10.y = x²–x + 0,25;    

11. y = z²+14z + 49;     

12. y =  z²–3z + 2,25;     

13.  y = х²– 2х + 4;  

14. y = 2х²– 4х + 12;   

15. y = 2х²– 3х + 4;  

16.y = x²– 4x – 5 = 0; 

17.  y = x² + 6x – 3= 0;   

18.y = 2x²-5x +2 = 0;   

19.y = 3х²-10х + 3= 0;   

20.y =  3x² + 6x + 3 = 0; 

 

Властивості квадратних тричленів

 

Запровадимо такі поняття:

·                       D = b² - 4ac- дискримінант квадратного тричлена

·                       х_о - корінь квадратного тричлена, якщо ах₀² + bх_о + с = 0.

 

Властивість 1.Для а  ¹ 0 можемо виділити повний квадрат:

ах² + bх + с = a((x + b/(2a))² – (b²-4ac)/(4a²)).

Зауваження. Ця властивість використовується для побудови графіків квадратичних функцій f(х) = ах² + bх + с.Графік функції

у(х) = ах² + bх + с

отримують з графіка функції у = х²  такою послідовністю перетворень:

·       паралельним перенесенням вершини в точку (-b/2а;0);

·       розтягом або звуженням до осі симетрії параболи в а разів, якщо

 а > 1, і розхилом   відносно осі симетрії у ½а½ разів, якщо 0<а < 1;

·       паралельним перенесенням на вектор (0; с - b²/4а).

Наслідок 1. Існує найменше значення функції у(х) = ах² + bх + с

для а > 0 і воно дорівнює у_min(-b/2а).

 Наслідок 2. Існує найбільше значення функції у(х) = ах² + bх + с для а < 0 і воно дорівнює у_max(-b/2а).

 

Властивість 2.Для а  ¹ 0 і  b²-4ac >= 0 можемо розкласти на множники:

ах² + bх + с  =  a(x – x₁) (x – x₂).

де x₁, x₂ – корені квадратного тричлена, тобто

а x₁² + bx₁ + с = 0 та а x₂² + bx₂ + с = 0.

Наслідок. Квадратний тричлен можна утворити так, що він матиме корені з наперед заданими критеріями(умовами) на ці корені.

Властивість 3.Величина х² + рх + q:

·         додатна, якщо тричлен не має дійсних коренів або значення аргументу х більше, ніж більший корінь, чи менше, ніж мен­ший корінь цього тричлена;

·         від'ємна, якщо тричлен має дійсні корені, а значення аргумен­ту х лежить в інтервалі між коренями x₁ та x₂.

Властивість 4.Залежність від  р і q розташування коренів  х₁, x₂тричле­на х² + рх + q відносно нуля за умови існування коренів

р² - 4q > 0 така:

·       якщо q > 0, то корені мають один знак, що протилежний до знака р;

·       якщо q < 0, то корені мають протилежні знаки, а знаки р і меншого за модулем кореня збігаються;

·       якщо q = 0, то коренями є 0 і -р.

 

Властивість 5.Корені тричлена х² + рх +q одночасно більші чи мен­ші, ніж стала х_о, тоді й лише тоді, коли корені многочлена

(х + х_о)² + р(х₀ + х)+q = х² + (р + 2х₀)х + х₀² + рх₀ + q

одночасно більші (менші), ніж нуль, тобто відповідно коли справ­джується система нерівностей

х₀² + рх₀ + q >0,   р + 2х₀<0

чи

х₀² + рх₀ + q >0,   р + 2х₀>0

Зауваження. Перша нерівність в отриманих системах – умо­ва того, що х_о не належить до відрізка, обмеженого коренями три­члена х² + рх +q.

Друга нерівність – умова того, що х_о відповідно менше чи біль­ше, ніж: – р/2, що знаходиться між коренями тричлена.

Наслідок. Між  двома дійсними коренями квадратного тричле­на ах² + bх + с розташовано один з двох дійсних коренів квадратного тричлена fх² + gх + h тоді й лише тоді, коли справджується така система нерівностей:

а¹ 0   i  f¹ 0 i  b² - 4ac > 0 i  g² – 4fh > 0  i

a²h² + с²f² + аcg² + b²fh - аbgh - bсfg - 2асfh < 0

 

Модуль А5. Теорема Вієта і її наслідки

 

Франсуа Вієт (1540-1603) – французький математик, відомий своїми праця­ми в галузі алгебри і тригонометрії.

 

Теорема (Вієтa). Якщо х₁, x₂– корені квадратного рівняння

ах² + bх + с = 0

то справедливі рівності

х₁+ х₂ = - b/а,

х₁х₂ = с/а .

 

Теорема (Вієтa).1 Якщо х₁, x₂‒ корені зведеного квадратного рівняння

х²+рх + q = 0,

 то маємо:

х₁+x₂= -р,   х₁∙x₂ = q.

 

 



Розклад квадратного тричлена ax² + bx +cна множники

 

Виконаємо цей розклад за таким алгоритмом:

·       Винесемо за дужки множник а;

·       Виділимо повний квадрат у дужках;

·       Утворимо різницю квадратів у дужках:

·       Розкладемо різницю квадратів на множники:

 

ax² + bx +c =

Винесемо за дужки коефіцієнт а, отримаємо:

= a(x² + (bx)/a +c/a) =

Для того, щоб виділити повний квадрат, помножимо і поділимо на 2 доданок (bx)/a, отримаємо:

= a(x² + (2∙ bx)/(2a) +c/a) =

В дужках додамо і віднімемо доданок b² /2²a², отримаємо:

= a(x² + (2∙ bx)/(2a) + b² /2²a²+ c/a - b² /2²a² ) =

Перші три доданки в дужках утворюють повний квадрат суми:

= a((x +  b/a)² + c/a -b² /2²a² ) =

Два останні доданки зведемо до спільного знаменника 4a², та винесемо за дужки знак мінус для того, щоб утворити різницю квадратів, отримаємо:

= a((x +  b/a)² – (b² – 4ас) /4a² ) =

Утворимо різницю квадратів в дужках, отримаємо:

= a((x +  b/a)² – ((b² – 4ас)^0,5)² /(2a)² ) =

Розкладемо різницю квадратів на два множники, використовуючи формулу

x²  –  y²  = (x + y) (x - y),

отримаємо:

= a((x +  b/a) + ((b² – 4ас)^0,5) /(2a) )∙((x +  b/a) – ((b² – 4ас)^0,5) /(2a)).

 

Тепер слід вказати  умови допустимості таких  перетворень.

Вираз

b² – 4ас

називається дискримінантом квадратного тричлена

ax² + bx +c,

його прийнято записувати:

D =  b² – 4ас.

Вираз

(- b - ((b² – 4ас)^0,5 )/2а

називається першим нулем квадратного тричлена  

ax² + bx +c,

його прийнято записувати:

х₁ =  (- b - ((b² – 4ас)^0,5 )/2а = (- b - D ^0,5 )/2а

Вираз 

(- b+ ((b² – 4ас)^0,5 )/2а

називається першим коренем квадратного тричлена  

ax² + bx +c,

його прийнято записувати:

х₂ =  (-b/a+ ((b² – 4ас)^0,5 )/2а = (-b/a+ D ^0,5 )/2а

 

Запам’ятаємо, якщо  додатній дискримінант, D = b² – 4ас>0, то

ax² + bx +c = a(x-х₁)(x-х₂),

квадратний тричлен розкладається множники на множині дійсних чисел.

 

Запам’ятаємо, якщо D = b² – 4ас=0,то

ax² + bx +c = a(x-х₁)²,

де

х₁ = - b/2a

квадратний тричлен можна записати як повний квадрат суми на множині дійсних чисел.

 

Запам’ятаємо, якщо D = b² – 4ас<0, то

квадратний тричлен не  можна розкласти на множники на множині дійсних чисел.

 

Приклад: Розкласти на множники квадратні тричлени:

а) -12-7х-х²;  б) х² – 10х + 25.

Розв’язання: Виконаємо цей розклад за таким алгоритмом:

1. Вияснемо чому дорівнюють коефіцієнти а = ?, b = ?,  c = ?.

2. Знайдемо дискримінант D =  b² – 4ас;

Якщо D =  b² – 4ас>0, то знайдемо нулі квадратного тричлена

за формулами:

х₁ =  (- b - D ^0,5 )/2а,

 

х₂ =   (- b/a + D ^0,5 )/2а.

ірозкладемо на множники за формулою:

ax² + bx +c = a(x-х₁)(x-х₂),

 

 Якщо D =  b² – 4ас=0, то знайдемо нуль квадратного тричлена

за формулами:

х₁ =  - b/2а,

ірозкладемо на множники за формулою:

ax² + bx +c = a(x-х₁)²,

Якщо D =  b² – 4ас<0,  токвадратний тричлен не  можна розкласти на множники на множині дійсних чисел.

 

Розкладемо на множники  -12 - 7х - х² :

Спочатку вияснимо, коефіцієнти:

а = -1, b = -7,   c = -12.

D =  b² – 4ас=49 - 4∙(-1)(-12)= 49 -48 =1, отже маємо  два нулі:

х₁ =  (- b - D ^0,5 )/2а = (-(-7) - 1^0,5 )/(2(-1))=6/(-2) = =-3

 

х₂ =   (- b/a + D ^0,5 )/2а = (-(-7) + 1^0,5 )/(2(-1))=8/(-2) = =-4

отже,

-12 - 7х - х²= a(x- х₁)(x- х₂)= -(x- (-3))∙(x- (-4))= -(x+3)∙(x+ 4).

 

 

Розкладемо на множники  х² – 10х + 25:

Спочатку вияснимо, коефіцієнти:

а = 1, b = -5,   c = 6.

D =  b² – 4ас=100 - 4∙(1)(25)= 100 - 100 = 0, отже маємо  один нуль.

Отже,знайдемо  цей один нуль:

х₁ =  - b /2а = -(-10)/2  = 5,

таким чином, квадратний тричлен х² – 10х + 25 є повним квадратом

 ax² + bx +c = a(x-х₁)²,

х² – 10х + 25 = (x-5)².

Відповідь: а) -(x+3)∙(x+ 4);  б) (x-5)².

 

Тепер самостійно розкладіть на множники квадратні тричлени:

1)      x²–5x + 4;                2) n²  – 6n + 5.

3)    х²– 8х + 15;               4) a² + 7a + 10.

5)      u² – 5u – 6;               6) w² – 3w – 4.

 

 

Серед многочленів, які не розкладаються на множники зустрічаються многочлени:

1) першого степеня  ах+ b; такі вирази називають  лінійними виразами а;

2) деякімногочлени другого степеня   аx²+ bx+ c; такі вирази називають  незвідними квадратними тричленами.

Наприклад:

1) x² + 25  - цей многочлен не можна розкласти на лінійні множники на множині дійсних чисел;

2) x² + 5x + 25  - цей многочлен не можна розкласти на множині дійсних чисел;

3) 4x² + 5  - цей многочлен не можна розкласти на множині дійсних чисел.

4) 5x + 2  - цей многочлен не можна розкласти на множині дійсних чисел.

 

Існує необхідна і достатня  умова розкладу квадратного тричлена на множники. А саме.

 

Многочлен вигляду  квадратного тричлена

аx²+ bx+ c

можна розкласти на лінійні множники на множині дійсних чисел, якщо  квадратне рівняння

аx²+ bx+ c = 0

має дійсні корені х₁ та х₂,  тобто,  вираз, який називають дискримінантом квадратного рівняння  невід’ємний( тобто вираз  додатній або нульовий).

 

 

 

 

         ПАРАМЕТРИЧНІ НЕРІВНОСТІ І РІВНЯННЯ

 

Виділимо тип задач, де за рахунок параметра на змінну накладаються будь-які  штучні обмеження. Для таких задач характерна наступне трактування:  при якому значення параметру рівняння (нерівності, система) має одне значення, два, нескінченно багато, ні одного;  розвʼязок рівняння (нерівностей, системи) є якась підмножина дійсних чисел для параметра рівняння.

         Розпочнемо з конкретних задач з параметрами.

 1. При яких а нерівність

(х ‒ а)(х ‒ 2) £ 0

має один розвʼязок?

Розвʼязання. Легко здогадатись, що а = 2 задовольняє умову задачі. Дійсно, при а = 2 отримуємо нерівність (х ‒ 2)² £ 0, що має один розвʼязок. Для випадку, коли а ¹ 2, розвʼязком нерівності очевидно буде відрізок.

Відповідь. а = 2.

  2. При яких дійсних а розвʼязком нерівності

(х ‒ а)²(х ‒ 2) (х +3)£ 0

буде відрізок?

Розвʼязання. Так як (х ‒ а)² ‒невідʼємний вираз, тоді нерівність рівносильна системі (х ‒ 2) (х +3)£ 0 і  х = а.

Розвʼязком нерівності системи буде відрізок [-3; 2]. Отже, при          а Î[-3; 2] розвʼязок системи  також буде відрізок.

Відповідь.  ‒ 3£  а £  2.

3.    При яких дійсних а рівняння

ах² ‒ х + 3 = 0

має один розвʼязок?

Розвʼязання. Насамперед  звернемо увагу на типову помилку: рахувати дане рівняння квадратним. Насправді, дане рівняння степені не вище другої, бо при а = 0, отримаємо лінійне рівняння. Користуючись цією думкою, звісно почати розвʼязання, переглянувши випадок, коли а = 0. І так, якщо а = 0, то очевидно дане рівняння має один розвʼязок. Якщо ж а ¹ 0, то маємо справу з квадратним рівнянням. Його дискримінант дорівнює 1‒ 12априймає значення, рівне нулю, якщо а = 1:12.

Відповідь. a=0або а = 1:12.

4. При яких дійсних aрівняння

(а ‒ 2)х² + (4 ‒ 2а)х + 3 = 0

має один розвʼязок?

Розвʼязання. Зрозуміло, що потрібно починати з випадку а = 2. Але при а = 2 дане рівняння зовсім не має розвʼязку. Якщо а ¹ 0, дане рівняння, будучи квадратним, і здалося б шукані значення параметру – це корні дискримінанту. Але дискримінант обертається в нуль а = 2 або а = 5. Оскільки ми постановили, що а = 2 не підходить, то

Відповідь. а = 5.

Імовірно, в двох останніх прикладах нічого важкого немає (тим більше, якщо вони вже розвʼязанні). Однак на наш погляд параметр в цих задачах проявляє своє «підступництво», особливо для починаючих шанувальників математики. При цьому корисно розглянути ще декілька прикладів, де параметр «розтавляє пастки».

 

5.    При яких значеннях параметра а розвʼязок нерівності

x²+ax ‒ 1<0

 буде інтервал довжини 5?

Розв’язання. Зазначимо, що при будь-яких значеннях а дискримінант квадратного тричлена, розташованого у лівій частині нерівності , додатні. Нехай х₁ і х₂– корені даного квадратного тричлена. За умовою потрібно мати місце рівність  çх₁-х₂ ç=5. Маємо модуль:

 çх₁ - х₂ ç=((х₁ - х₂)²)^0,5 = ((х₁ - х₂)² - 4х₁х₂)^0,5.

Застосовуючи теорему Вієта, отримуємо

  çх₁ - х₂ ç=(а² + 4)^0,5.

 Тоді

(а² + 4)^0,5 = 5.  

Звідси

  çа ç= (21)^0,5.

Відповідь. а = (21)^0,5 або а = ‒ (21)^0,5

 

Вправи.

1.    Розв’язати параметричні рівняння при будь-яких дійсних а.

2.  (a² ‒ 6a+5)x=a ‒1.           2. (a² ‒ 7a+ 12)x= (a ‒ 3)(а ‒ 4).

3.  (a² ‒ 6a+ 8)x=( a ‒ 1)(а ‒ 4).    4.(a ‒7)x=а ‒ 7.

5. (x ‒ 2)/(x+a)=0.      6. x^0,5 = ‒ a² ‒ 9.

7. (x ‒ a)(x ‒ 1)^0.5=0.    8.  |x|+|x ‒ a|=0.

9. (x ‒ a)/(x²‒ 4x+3)=0.  10. (x² ‒ 4x+3)/(x ‒ a)=0.

 

2.Знайти, що при якомудодатному значенні параметравірна нерівність:
а)     (х ‒ а)²‒ (х+2а)²  <2(х² +4а);
б)    3(х+а)² – 8х ‒ 10а ≥2(х ‒ 2а)(х+2а);
в)    (2а+b)(3а+2b)≤4b+(5а ‒ b)(2а+b);
г)     (3а ‒ 5b)(2а ‒3b)>(а ‒ 4b)(3а+2b).
3.Знайти, при   яких дійсних  а:
а)тричлен   х²‒ 3ах+200  має тількидодатні значення;

 

 

Квадратні рівняння з параметром

 

1.14. При яких а, рівняння (а-2)х²+(4-2а)+3=0 має одне рішення?

Розв’язаня. Відомо, що потрібно починати з випадку а=2. Але при а=2 отримане рівняння взагалі немає рішення. Якщо а не дорівнює 2 то таке рівняння – квадратне, і шукані значення параметра-це корні дискримінанта. Все одно дискримінант перетворюється в 0 при а=2 або а=5. Оскільки ми встановили, що а=2 не підходить.

Відповідь. а=5.

Вірогідно, в двох останніх прикладах нічого важкого нема. Але, на наш погляд, параметр в цих задачах виявляє свою «хитрість», особливо для початківців. Тому корисно роздивитись ще декілька прикладів, де периметр розставляє «капкани».

 

1.15. При яких а, рівняння ах²-4х+а+3=0 має більше одного кореня?

Розв’язаня. При а=0 рівняння має один корінь, що не задовольняє умову.  При а не дорівнює 0 отримане рівняння, будучи квадратним, має два кореня, якщо його дискримінант 16-4а²-12а –додатній. Звідси виходить -  4<а<1. В отриманий проміжок (-4; 1) входить число 0, яке, як ми вже перевірили не підходить.

Відповідь.  -4<a<0 або 0<a<1.

 

1.16. При яких а, рівняння а(а+3)х²+(2ф+6)х-3а-9=0 має більше одного кореня?

Розв’язаня. Стандартний крок починати з випадків а=0 і а= -3. При а=0 рівняння має єдине рішення.  Цікаво, що при а= -3 рішенню рівняння служить будь-яке натуральне число. Дискримінант  відповідного квадратного рівняння рівне 4(а+3)²(3а+1) і очевидно додатній при    а>- . Досвід попередніх прикладів підказує, що із проміжка  (- ; ∞) потрібно виключати точку а=0, а у відповіді не забути включити а= - 3.