Системи рівнянь з дійсним параметром
Останнє редагування: 2017-06-04
Автор: Негода Сергій Петрович
Системи нелінійних рівнянь з параметром
Завдання (із ЗНО з математики за 2017 рік)
1.Розв’яжіть систему двох рівнянь:
|x-y|=|x-a|;
lg(y-a)=lg(4a2+x-x2)
залежно від дійсних значень параметра а.
Розв’язання: 1) Розкриємо знак модуля у рівнянні |x-y|=|x-a|. Для цього розглянемо чотири випадки:
1) якщо х-у≥0, x-a≥0, тоді х-у=х-а, тобто у=а.
2) якщо х-у≥0, x-a тоді х-у=a-x, тобто у=2x-а.
3) якщо х-у тоді y-x=x-a, тобто у=2x-а.
4) якщо х-у тоді y-x= a-x, тобто у=а.
Розглянемо дві пари чисел, що задовольняють рівнянні |x-y|=|x-a|:
(х; 2х-а),
(х; а).
Після безпосередньої перевірки пари чисел (х; а) у другому рівнянні отримаємо висновок, що ця пара не являється розв’язком даної системи рівнянь.
Після безпосередньої перевірки пари чисел (х; 2х-а) робимо висновок: ця пара задовольняє друге рівняння при умові виконання ОДЗ.
Тепер отримаємо розв’язки даної системи рівнянь. Для цього у друге рівняння замість змінної у підставимо вираз 2х-а, матимемо:
lg(2х-а-a)=lg(4a2+x-x2)
Виконаємо дослідження кількості розв’язків цього рівняння в залежності від параметра а.
Знайдемо ОДЗ: х>a, 4a2+x-x2>0.
Розглянемо рівняння 2x-2a=4a2+x-x2
x2+x-4a2-2a=0;
D=(1+4a)2;
x1=-2a-1;
x2=2a.
Тоді
у1=-5a-2;
у2=3a.
Перевіримо, чи належить до ОДЗ другого рівняння lg(2х-а-a)=lg(4a2+x-x2)
даної системи дві пари чисел:
(-2a-1; -5a-2), (2a; 3a). Перевірку виконайте самостійно.
Таким чином, пара чисел (-2a-1; -5a-2) вимагає такої множини а1/3.
Пара чисел (2a; 3a) вимагає такої множини а>0.
Відповідь: якщо а1/3, то система має одну пару розв’язків: (-2a-1; -5a-2);
якщо -1/3<а<0, то система розв’язків немає;
якщо а>0, то система має розв’язок: (2a; 3a).
Завдання для самостійної роботи.
2.Розв’яжіть систему двох рівнянь
|2а-5х|=|x-2у|;
lg(y-3х+a)=lg(18a2+23а-4+(9а-2)x+x2)
залежно від дійсних значень параметра а.
Відповідь: якщо а1+3/17, то система розв’язків немає;
якщо -1+3/17<а<5/32, то система має одну пару: (-3a-4; 7a+8);
якщо а>5/32, то система має дві пари: (-6a+1; 13a-2), (-3a-4; 7a+8).
3.Розв’яжіть систему двох рівнянь:
|у+х-а|=|4x-5а|;
(2а-y-2х)0,5=а
залежно від дійсних значень параметра а.
Відповідь: якщо а<0, то система розв’язків немає;
якщо а≥0, то система має два розв’язки: (1,2a-0,2а2; -0,4a-0,6а2), (3-1а2+4а/3; -2a/3-5а2/3).
4.Знайдіть кількість розв’язків системи двох рівнянь:
|х-а|×|у-а2|=0;
|х-1+а2|×|у-а2-а|=0;
залежно від дійсних значень параметра а.
Відповідь: (а; -a+а2), ( -1+а2; а2), для дійсних значень параметра а.
5.Знайдіть кількість розв’язків системи двох рівнянь:
х2-ах-2х+4а-2а2 =0;
ху-3у+ау-2ах+4а-2а2 =0.
Пропозиція: розкласти на множники ліві частини обох рівнянь.
Системи нелінійних рівнянь
6. Розв’язати систему рівнянь:
4-2cospy=2/(1+2x2);
y=2-x2
Якщо система єдиний розв’язок (хо ; уо), то у відповідь записати суму хо + уо, Якщо система більше, ніж один розв’язок, то у відповідь записати кількість усіх розв’язків.
Пропозиція: дослідити властивості функції, що представляє ліву та праву частину рівнянь.
Відповідь: (0; 2) то сума 0 + 2 = 2.
7. Розв’язати систему рівнянь:
sinpy=1-x2;
y=(x2-1)0,5
Якщо система єдиний розв’язок (хо; уо), то у відповідь записати суму хо + уо,
Якщо система більше, ніж один розв’язок, то у відповідь записати кількість усіх розв’язків.
Відповідь: (1; 0) та (-1; 0). Система має два розв’язки тобто, відповідь: 2.
8.Розв’язати систему рівнянь:
cospy-1=(x+1)2;
y=(1+x)(1+x)0,5.
Якщо система єдиний розв’язок (хо ; уо), то у відповідь записати суму хо + уо, Якщо система більше, ніж один розв’язок, то у відповідь записати кількість усіх розв’язків.
Відповідь: (-1; 0). Система має один розв’язок тобто, відповідь: -1.
9. Розв’язати систему рівнянь:
sin2py = x2+x;
y = x2(x+1)0,5
Якщо система єдиний розв’язок (хо ; уо), то у відповідь записати суму хо + уо, Якщо система більше, ніж один розв’язок, то у відповідь записати кількість усіх розв’язків.
Відповідь: (0; 0) та (-1; 0). Система має два розв’язки тобто, відповідь: 2.
10. Розв’язати систему рівнянь:
(1-siny)0,5 = 1-x;
y2 =(1-x2)3.
Якщо система єдиний розв’язок (хо ; уо), то у відповідь записати суму хо + уо, Якщо система більше, ніж один розв’язок, то у відповідь записати кількість усіх розв’язків.
Відповідь: 1.
Нелінійні рівняння з параметрами
